Разреши уравнение: 2x+2−104−x2+1=1x−2. Определи область допустимых значений для данного дробного уравнения: D=R{0

Для решения данного уравнения, мы должны привести его к общему знаменателю и упростить его. После этого мы сможем определить область допустимых значений и найти корни уравнения. Давайте начнем:

1. Приведение к общему знаменателю:
У нас есть две дроби в уравнении, поэтому мы должны привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет \(x - 2\), так как это знаменатель в правой части уравнения.

Умножим первую дробь на \((x - 2)\) и вторую дробь на \((x - 2)\), чтобы получить следующее:

\[\frac{2x(x - 2)}{(x - 2)} + \frac{2(x - 2)}{(x - 2)} - 104 - \frac{x(x - 2)}{(x - 2)} + 1 = \frac{1}{(x - 2)}\]

2. Упрощение уравнения:
Упростим числитель первой дроби и сочетаем числа справа от знака равенства:

\[2x^2 - 4x + 2 - 104 - x^2 + 2x + x - 2 + 1 = 1\]

После упрощения уравнения у нас получается:

\[x^2 - 2x - 104 - x^2 + 2x + x - 2 + 1 = 1\]

\[x^2 + x - 104 - 2 + 1 = 1\]

\[x^2 + x - 104 = 0\]

3. Факторизация и определение области допустимых значений:
Поскольку у нас есть квадратное уравнение, мы можем попытаться его факторизовать. У нас есть следующее уравнение:

\[x^2 + x - 104 = 0\]

Для факторизации уравнения, нам нужно найти два числа, сумма и произведение которых равны коэффициентам при \(x\) и \(x^2\) соответственно. В данном случае, мы ищем два числа, сумма которых равна 1, а произведение равно -104.

После нескольких попыток, мы можем найти такие числа: 13 и -8. Мы можем записать уравнение следующим образом:

\[(x + 13)(x - 8) = 0\]

Теперь мы можем найти значения \(x\), которые делают это уравнение равным нулю:

\[x + 13 = 0 \quad \text{или} \quad x - 8 = 0\]

\[x = -13 \quad \text{или} \quad x = 8\]

Это дает нам два корня уравнения: \(x = -13\) и \(x = 8\).

4. Проверка области допустимых значений:
Теперь, когда у нас есть корни уравнения, нам нужно проверить, лежат ли они в области допустимых значений.

Область допустимых значений для данного дробного уравнения определяется исключением значений, при которых знаменатель становится равным нулю.

Исключим значения \(x = 2\), так как при этом знаменатель будет равен нулю. Таким образом, область допустимых значений для данного дробного уравнения будет \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

Таким образом, ответы на задачу:

Определение области допустимых значений: \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)

Определение корней (корень) для данного уравнения: \(x = -13, x = 8\)