Рассчитайте примерное значение первой космической скорости для планеты Меркурий, если известно, что радиус планеты

Для расчета первой космической скорости для планеты Меркурий нам необходимо использовать физическую формулу, связывающую скорость и ускорение свободного падения с радиусом планеты. Формула для расчета первой космической скорости выглядит следующим образом:

\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot m}}{{r}}}\]

Где:
- \(v\) - первая космическая скорость,
- \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\)),
- \(m\) - масса планеты Меркурий,
- \(r\) - радиус планеты Меркурий.

Задача дает нам информацию, что радиус планеты Меркурий составляет \(\frac{3}{8}\) от радиуса Земли, а ускорение свободного падения на поверхности Меркурия составляет \(\frac{2}{5}\) от ускорения свободного падения на Земле.

Пусть \(R\) будет радиус Земли, а \(g\) - ускорение свободного падения на Земле. Тогда радиус планеты Меркурий будет \(r = \frac{3}{8} \cdot R\), а значение ускорения свободного падения на Меркурии будет \(g_{\text{Меркурий}} = \frac{2}{5} \cdot g\).

Теперь мы можем рассчитать первую космическую скорость для Меркурия, используя известные значения:

\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot m}}{{\frac{3}{8} \cdot R}}} = \sqrt{\frac{{16 \cdot G \cdot m}}{{3 \cdot R}}}\]

У нас нет точной информации о массе планеты Меркурий, поэтому мы не можем рассчитать ее массу. Однако, если мы хотим дать приближенное значение для первой космической скорости, мы можем использовать массу Земли (при условии, что плотность Меркурия сходна с плотностью Земли). Масса Земли составляет \(m_{\text{Земля}} = 5.972 × 10^{24} \, \text{кг}\).

Теперь, подставив известные значения в формулу, мы можем рассчитать приближенное значение первой космической скорости для Меркурия:

\[v \approx \sqrt{\frac{{16 \cdot 6.67430 \cdot 10^{-11} \cdot 5.972 × 10^{24}}}{{3 \cdot R}}}\]

Для расчета точного значения требуется знание точной массы планеты Меркурий. Приближенное значение будет отличаться от точного, но даст нам представление о порядке величины первой космической скорости для планеты Меркурий.