Распределение случайной величины x, которая представляет число правильных ответов при простом угадывании, будет

Чтобы найти математическое ожидание $m(x)$, дисперсию $d(x)$ и стандартное отклонение $\sigma (x)$ случайной величины $x$, представляющей число правильных ответов при простом угадывании, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите вероятность правильного ответа на один вопрос. Поскольку каждый вопрос имеет два возможных варианта ответа (правильный и неправильный), вероятность правильного ответа будет равна $p=\frac{1}{2}$.

2. Рассмотрите случайную величину $x$ как сумму $n$ независимых одинаково распределенных случайных величин $X_1,X_2,\dots ,X_n$, где каждая из них может принимать значения 0 или 1 в зависимости от того, правильный ответ был дан или нет на каждый из $n$ вопросов контрольной работы.

3. Пользуясь свойствами математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения, найдите $m(x)$, $d(x)$ и $\sigma (x)$ следующим образом:
- Математическое ожидание $m(x)$ равно сумме математических ожиданий всех случайных величин $X_1,X_2,\dots ,X_n$. В данном случае каждая из них имеет вероятность правильного ответа $p$, следовательно, $m(x)=np$.
- Дисперсия $d(x)$ равна сумме дисперсий всех случайных величин $X_1,X_2,\dots ,X_n$. Поскольку каждая из них является независимой и одинаково распределенной, то $d(x)=np(1-p)$.
- Стандартное отклонение $\sigma (x)$ равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma (x)=\sqrt{d(x)}$.

Таким образом, для заданного случая, если контрольная работа состоит из трех вопросов ($n=3$) и вероятность правильного ответа на каждый из них равна $p=\frac{1}{2}$, то математическое ожидание $m(x)$, дисперсия $d(x)$ и стандартное отклонение $\sigma (x)$ будут следующими:

$m(x)=n\cdot p=3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

$d(x)=n\cdot p\cdot (1-p)=3\cdot \frac{1}{2}\cdot (1-\frac{1}{2})=\frac{3}{4}$

$\sigma (x)=\sqrt{d(x)}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, математическое ожидание $m(x)$ равно $\frac{3}{2}$, дисперсия $d(x)$ равна $\frac{3}{4}$, а стандартное отклонение $\sigma (x)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.