Распределение случайной величины x, которая представляет число правильных ответов при простом угадывании, будет

Чтобы найти математическое ожидание \(m(x)\), дисперсию \(d(x)\) и стандартное отклонение \(\sigma(x)\) случайной величины \(x\), представляющей число правильных ответов при простом угадывании, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите вероятность правильного ответа на один вопрос. Поскольку каждый вопрос имеет два возможных варианта ответа (правильный и неправильный), вероятность правильного ответа будет равна \(p = \frac{1}{2}\).

2. Рассмотрите случайную величину \(x\) как сумму \(n\) независимых одинаково распределенных случайных величин \(X_1, X_2, \ldots, X_n\), где каждая из них может принимать значения 0 или 1 в зависимости от того, правильный ответ был дан или нет на каждый из \(n\) вопросов контрольной работы.

3. Пользуясь свойствами математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения, найдите \(m(x)\), \(d(x)\) и \(\sigma(x)\) следующим образом:
- Математическое ожидание \(m(x)\) равно сумме математических ожиданий всех случайных величин \(X_1, X_2, \ldots, X_n\). В данном случае каждая из них имеет вероятность правильного ответа \(p\), следовательно, \(m(x) = np\).
- Дисперсия \(d(x)\) равна сумме дисперсий всех случайных величин \(X_1, X_2, \ldots, X_n\). Поскольку каждая из них является независимой и одинаково распределенной, то \(d(x) = np(1-p)\).
- Стандартное отклонение \(\sigma(x)\) равно квадратному корню из дисперсии: \(\sigma(x) = \sqrt{d(x)}\).

Таким образом, для заданного случая, если контрольная работа состоит из трех вопросов (\(n = 3\)) и вероятность правильного ответа на каждый из них равна \(p = \frac{1}{2}\), то математическое ожидание \(m(x)\), дисперсия \(d(x)\) и стандартное отклонение \(\sigma(x)\) будут следующими:

\(m(x) = n \cdot p = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

\(d(x) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}\)

\(\sigma(x) = \sqrt{d(x)} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Таким образом, математическое ожидание \(m(x)\) равно \(\frac{3}{2}\), дисперсия \(d(x)\) равна \(\frac{3}{4}\), а стандартное отклонение \(\sigma(x)\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).