Прямоугольный треугольник, с катетами размером 6 см и 8 см, и гипотенузой 10 см, вращается вокруг более длинного

Данная фигура получается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг более длинного катета. Тело вращения, которое образуется, называется конусом.

Чтобы найти высоту полученного конуса, нужно рассмотреть сам прямоугольный треугольник. Мы знаем, что один из катетов равен 6 см, а другой равен 8 см. Применим теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2},\]
где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.
Подставив известные значения, получим:
\[c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, \text{см}.\]

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см.
Так как мы вращаем треугольник вокруг более длинного катета, полуобъем конуса, который образуется, равен половине площади основания, умноженной на высоту конуса:
\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{2} \cdot \pi r^2 \cdot h,\]
где \(V_{\text{конуса}}\) - объем конуса, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Мы уже знаем, что гипотенуза равна 10 см, поэтому радиус основания конуса будет равен половине гипотенузы:
\[r = \frac{10}{2} = 5\, \text{см}.\]

Для нахождения высоты конуса воспользуемся теоремой Пифагора, примененной к одной из половинок прямоугольного треугольника.
\[h = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\, \text{см}.\]

Таким образом, высота полученного конуса равна 8 см.

Наконец, образующая конуса - это гипотенуза прямоугольного треугольника, то есть 10 см. Это длина пути, которую проходит точка на гипотенузе при вращении.

Таким образом, название тела вращения - конус, высота составляет 8 см, образующая равна 10 см, и радиус составляет 5 см.