Проверьте минимальное и максимальное значения функций на указанных интервалах: 1) y=-6x+x²+13 в интервале [0

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Функция: \(y = -6x + x^2 + 13\) на интервале \([0; 6]\)

Для нахождения минимального и максимального значений функции на данном интервале, нам необходимо найти экстремумы функции и значения функции на концах интервала.

Для начала, найдем точки экстремума функции. Для этого, возьмем производную функции по переменной \(x\) и приравняем ее к нулю:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 0\]

\[2x - 6 = 0\]

Решая это уравнение, получаем:

\[x = 3\]

Таким образом, точка экстремума находится при \(x = 3\).

Теперь найдем значения функции на концах интервала \([0; 6]\):

У нас есть две точки: \(x = 0\) и \(x = 6\).

Для \(x = 0\), подставляем \(x\) в исходную функцию:

\[y = -6(0) + (0)^2 + 13 = 13\]

Для \(x = 6\):

\[y = -6(6) + (6)^2 + 13 = -23\]

Таким образом, на концах интервала \([0; 6]\), функция принимает значения \(y = 13\) и \(y = -23\).

Таким образом, минимальное значение функции равно -23 и достигается при \(x = 6\), а максимальное значение равно 13 и достигается при \(x = 0\).

2) Функция: \(y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}\) на интервале \([1; 3]\)

Аналогично первой задаче, найдем точки экстремума и значения функции на концах интервала.

Находим производную функции:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 0\]

\[x = 0\]

Раз интервал задан от 1 до 3, точка \(x = 0\) не попадает в интервал, поэтому ее не рассматриваем.

Теперь найдем значения функции на концах интервала \([1; 3]\):

Для \(x = 1\):

\[y = \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]

Для \(x = 3\):

\[y = \frac{1}{2}(3)^2 - \frac{1}{3} = \frac{9}{2} - \frac{1}{3} = \frac{16}{6}\]

Минимальное значение функции равно \(\frac{1}{6}\) и достигается при \(x = 1\), а максимальное значение равно \(\frac{16}{6}\) и достигается при \(x = 3\).

3) Функция: \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) на интервале \([-4; 4]\)

Аналогично предыдущим задачам, найдем точки экстремума и значения функции на концах интервала.

Находим производную функции:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 0\]

\[3x^2 - 6x - 9 = 0\]

Найдем корни этого уравнения:

\[x = -1, x = 3\]

Поскольку интервал задан от \(-4\) до \(4\), рассматриваем только точки, попадающие в данный интервал.

Теперь найдем значения функции на концах интервала \([-4; 4]\):

Для \(x = -4\):

\[y = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 9(-4) + 35 = -17\]

Для \(x = 4\):

\[y = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 35 = 15\]

Таким образом, минимальное значение функции равно -17 и достигается при \(x = -4\), а максимальное значение равно 15 и достигается при \(x = 4\).

4) Функция: \(y = x - 2x^2 + \frac{1}{3}x^3\) на интервале \([-4; -1]\)

Для этой задачи также найдем точки экстремума и значения функции на концах интервала.

Находим производную функции:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 0\]

\[1 - 4x + x^2 = 0\]

Найдем корни этого уравнения:

\[x = 1, x = -1\]

Поскольку интервал задан от \(-4\) до \(-1\), рассматриваем только точки, попадающие в данный интервал.

Теперь найдем значения функции на концах интервала \([-4; -1]\):

Для \(x = -4\):

\[y = (-4) - 2(-4)^2 + \frac{1}{3}(-4)^3 = -\frac{152}{3}\]

Для \(x = -1\):

\[y = (-1) - 2(-1)^2 + \frac{1}{3}(-1)^3 = \frac{1}{3}\]

Минимальное значение функции равно \(-\frac{152}{3}\) и достигается при \(x = -4\), а максимальное значение равно \(\frac{1}{3}\) и достигается при \(x = -1\).

5) Функция: \(y = \frac{3}{5}x - \frac{2}{5}x^2 - \frac{1}{3}x^3\) на интервале \(?\)

В данной задаче не указан интервал. Пожалуйста, укажите интервал, на котором нужно найти минимальное и максимальное значения функции, чтобы я смог продолжить решение.