Проведите следующие операции: (x^2-49)/(3x^2+4)+(5x+35)/(x-8

Давайте проведем операции по порядку и детально объясним каждый шаг.

Итак, у нас есть выражение \(\frac{{x^2-49}}{{3x^2+4}}+\frac{{5x+35}}{{x-8}}\).

Первым шагом нам нужно выполнить сложение обычных дробей. Чтобы сложить дроби, необходимо общий знаменатель. В нашем случае общим знаменателем будет произведение знаменателей каждой дроби, то есть \((3x^2+4)(x-8)\).

Распределим первую дробь по знаменателю:

\(\frac{{(x^2-49)(x-8)}}{{(3x^2+4)(x-8)}}+\frac{{(5x+35)(3x^2+4)}}{{(3x^2+4)(x-8)}}\).

Теперь раскроем скобки в числителях и получим:

\(\frac{{(x-7)(x+7)(x-8)}}{{(3x^2+4)(x-8)}}+\frac{{(5x+35)(3x^2+4)}}{{(3x^2+4)(x-8)}}\).

Заметим, что у нас теперь есть общий знаменатель \((3x^2+4)(x-8)\), поэтому мы можем сложить числители:

\(\frac{{(x-7)(x+7)(x-8)+(5x+35)(3x^2+4)}}{{(3x^2+4)(x-8)}}\).

Если мы раскроем скобки в числителе, получится:

\(\frac{{(x-7)(x^2-8x+7x-56)+(5x+35)(3x^2+4)}}{{(3x^2+4)(x-8)}}\).

Теперь можно привести подобные слагаемые в каждой скобке:

\(\frac{{(x-7)(x^2-x-56)+(5x+35)(3x^2+4)}}{{(3x^2+4)(x-8)}}\).

Продолжим раскрывать скобки:

\(\frac{{x^3-x^2-56x-7x^2+7x+392+15x^3+20x}}{{(3x^2+4)(x-8)}}\).

Сгруппируем подобные слагаемые:

\(\frac{{(x^3+15x^3)+(-x^2-7x^2)+(7x+392+20x)}}{{(3x^2+4)(x-8)}}\).

Произведем сложение внутри каждой пары скобок:

\(\frac{{16x^3-8x^2+27x+392}}{{(3x^2+4)(x-8)}}\).

Таким образом, проведя все операции, получаем итоговое упрощенное выражение:

\(\frac{{16x^3-8x^2+27x+392}}{{(3x^2+4)(x-8)}}\).

Это и является окончательным ответом. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте.