Проведите анализ функции, полученной с помощью её производной, и постройте график этой функции: y = 2x^3 + 3x^2

Хорошо, рассмотрим проведение анализа функции \(y = 2x^3 + 3x^2 - 12x\). Для начала, мы должны вычислить производную этой функции. Производная функции показывает нам, как изменяется значение функции при изменении аргумента. Для вычисления производной, нам понадобится знание о правилах дифференцирования.

Производная от функции \(y\) обозначается как \(y"\) или \(\frac{{dy}}{{dx}}\). Давайте вычислим производную для данной функции:

\[y" = \frac{{d}}{{dx}} (2x^3 + 3x^2 - 12x)\]

Для удобства, воспользуемся правилом дифференцирования для суммы функций и правилом дифференцирования для каждого слагаемого в отдельности.

Применим правило линейности, чтобы найти производную каждого слагаемого:

\[\frac{{d}}{{dx}} (2x^3) = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2\]

\[\frac{{d}}{{dx}} (3x^2) = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x\]

\[\frac{{d}}{{dx}} (-12x) = -12\]

Теперь мы можем записать производную функции \(y\):

\[y" = 6x^2 + 6x - 12\]

Теперь, когда у нас есть производная, мы можем проанализировать функцию. Первое, что мы можем сделать, это найти точки экстремума. Точки экстремума - это точки, где значение производной равно нулю или не существует.

Чтобы найти точки экстремума, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[6x^2 + 6x - 12 = 0\]

Мы можем разделить уравнение на 6 для упрощения:

\[x^2 + x - 2 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем факторизовать его или использовать формулу дискриминанта. В данном случае, мы можем факторизовать его следующим образом:

\[(x + 2)(x - 1) = 0\]

Таким образом, мы получаем две возможные точки экстремума: \(x = -2\) и \(x = 1\).

Далее, мы можем проанализировать поведение функции в окрестности этих точек. Для этого, мы можем построить таблицу знаков производной и определить, где функция возрастает и убывает.

Мы знаем, что при \(x = -2\), производная равна нулю. Таким образом, функция достигает экстремума в этой точке. Чтобы определить, является ли это локальным максимумом или минимумом, мы можем проверить, как изменяется знак производной по обе стороны этой точки.

Подставим некоторые значения, близкие к \(x = -2\) в производную функции \(y"\):

\[y"(-3) = 6(-3)^2 + 6(-3) - 12 = 18 - 18 - 12 = -12 < 0\]

\[y"(-1) = 6(-1)^2 + 6(-1) - 12 = 6 - 6 - 12 = -12 < 0\]

Мы видим, что значения производной отрицательны как до, так и после точки \(x = -2\). Это означает, что функция убывает до \(-2\) и продолжает убывать после \(-2\). Таким образом, точка \(-2\) является локальным максимумом.

Проделаем ту же процедуру для точки \(x = 1\). Подставим значения, близкие к \(x = 1\) в производную функции \(y"\):

\[y"(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 12 = -12 < 0\]

\[y"(2) = 6(2)^2 + 6(2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0\]

Мы видим, что значения производной отрицательны до точки \(x = 1\) и положительны после нее. Это означает, что функция убывает до \(1\) и начинает возрастать после \(1\). Таким образом, точка \(1\) является локальным минимумом.

Теперь, когда у нас есть информация о точках экстремума, мы можем также проанализировать поведение функции вне интервалов между этими точками. Мы знаем, что при \(x = -\infty\) и \(x = +\infty\), функция будет стремиться к бесконечности, так как старший член функции \(2x^3\) имеет положительный коэффициент.

Наконец, мы можем построить график функции \(y = 2x^3 + 3x^2 - 12x\) на основе информации, полученной из производной и анализа функции. Я построю график на следующем рисунке:

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-3 & 42 \\
-2 & 24 \\
-1 & -11 \\
0 & 0 \\
1 & -10 \\
2 & 16 \\
\end{array}
\]

Теперь у нас есть график функции, который показывает экстремумы и общее поведение функции.

[Если бы я был способен создавать графики, я бы вставил здесь изображение графика функции с помощью формата LaTeX.]

Надеюсь, этот подробный анализ и график помогут вам в понимании данной функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться. Я всегда готов помочь!