Проведите анализ функции, полученной с помощью её производной, и постройте график этой функции: y = 2x^3 + 3x^2

Хорошо, рассмотрим проведение анализа функции $y=2x^3+3x^2-12x$. Для начала, мы должны вычислить производную этой функции. Производная функции показывает нам, как изменяется значение функции при изменении аргумента. Для вычисления производной, нам понадобится знание о правилах дифференцирования.

Производная от функции $y$ обозначается как $y"$ или $\frac{dy}{dx}$. Давайте вычислим производную для данной функции:

$$y"=\frac{d}{dx}(2x^3+3x^2-12x)$$

Для удобства, воспользуемся правилом дифференцирования для суммы функций и правилом дифференцирования для каждого слагаемого в отдельности.

Применим правило линейности, чтобы найти производную каждого слагаемого:

$$\frac{d}{dx}(2x^3)=2\cdot 3x^{3-1}=6x^2$$

$$\frac{d}{dx}(3x^2)=3\cdot 2x^{2-1}=6x$$

$$\frac{d}{dx}(-12x)=-12$$

Теперь мы можем записать производную функции $y$:

$$y"=6x^2+6x-12$$

Теперь, когда у нас есть производная, мы можем проанализировать функцию. Первое, что мы можем сделать, это найти точки экстремума. Точки экстремума - это точки, где значение производной равно нулю или не существует.

Чтобы найти точки экстремума, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

$$6x^2+6x-12=0$$

Мы можем разделить уравнение на 6 для упрощения:

$$x^2+x-2=0$$

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем факторизовать его или использовать формулу дискриминанта. В данном случае, мы можем факторизовать его следующим образом:

$$(x+2)(x-1)=0$$

Таким образом, мы получаем две возможные точки экстремума: $x=-2$ и $x=1$.

Далее, мы можем проанализировать поведение функции в окрестности этих точек. Для этого, мы можем построить таблицу знаков производной и определить, где функция возрастает и убывает.

Мы знаем, что при $x=-2$, производная равна нулю. Таким образом, функция достигает экстремума в этой точке. Чтобы определить, является ли это локальным максимумом или минимумом, мы можем проверить, как изменяется знак производной по обе стороны этой точки.

Подставим некоторые значения, близкие к $x=-2$ в производную функции $y"$:

$$y"(-3)=6(-3{)}^2+6(-3)-12=18-18-12=-12<0$$

$$y"(-1)=6(-1{)}^2+6(-1)-12=6-6-12=-12<0$$

Мы видим, что значения производной отрицательны как до, так и после точки $x=-2$. Это означает, что функция убывает до $-2$ и продолжает убывать после $-2$. Таким образом, точка $-2$ является локальным максимумом.

Проделаем ту же процедуру для точки $x=1$. Подставим значения, близкие к $x=1$ в производную функции $y"$:

$$y"(0)=6(0{)}^2+6(0)-12=-12<0$$

$$y"(2)=6(2{)}^2+6(2)-12=24+12-12=24>0$$

Мы видим, что значения производной отрицательны до точки $x=1$ и положительны после нее. Это означает, что функция убывает до $1$ и начинает возрастать после $1$. Таким образом, точка $1$ является локальным минимумом.

Теперь, когда у нас есть информация о точках экстремума, мы можем также проанализировать поведение функции вне интервалов между этими точками. Мы знаем, что при $x=-\mathrm{\infty }$ и $x=+\mathrm{\infty }$, функция будет стремиться к бесконечности, так как старший член функции $2x^3$ имеет положительный коэффициент.

Наконец, мы можем построить график функции $y=2x^3+3x^2-12x$ на основе информации, полученной из производной и анализа функции. Я построю график на следующем рисунке:

$$\begin{array}{cc}x& y\\ -3& 42\\ -2& 24\\ -1& -11\\ 0& 0\\ 1& -10\\ 2& 16\end{array}$$

Теперь у нас есть график функции, который показывает экстремумы и общее поведение функции.

[Если бы я был способен создавать графики, я бы вставил здесь изображение графика функции с помощью формата LaTeX.]

Надеюсь, этот подробный анализ и график помогут вам в понимании данной функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться. Я всегда готов помочь!