Проведите анализ функции, полученной с помощью её производной, и постройте график этой функции: y = 2x^3 + 3x^2

Проведите анализ функции, полученной с помощью её производной, и постройте график этой функции: y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 10.
Turandot

Turandot

Хорошо, рассмотрим проведение анализа функции y=2x3+3x212x. Для начала, мы должны вычислить производную этой функции. Производная функции показывает нам, как изменяется значение функции при изменении аргумента. Для вычисления производной, нам понадобится знание о правилах дифференцирования.

Производная от функции y обозначается как y" или dydx. Давайте вычислим производную для данной функции:

y"=ddx(2x3+3x212x)

Для удобства, воспользуемся правилом дифференцирования для суммы функций и правилом дифференцирования для каждого слагаемого в отдельности.

Применим правило линейности, чтобы найти производную каждого слагаемого:

ddx(2x3)=23x31=6x2

ddx(3x2)=32x21=6x

ddx(12x)=12

Теперь мы можем записать производную функции y:

y"=6x2+6x12

Теперь, когда у нас есть производная, мы можем проанализировать функцию. Первое, что мы можем сделать, это найти точки экстремума. Точки экстремума - это точки, где значение производной равно нулю или не существует.

Чтобы найти точки экстремума, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

6x2+6x12=0

Мы можем разделить уравнение на 6 для упрощения:

x2+x2=0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем факторизовать его или использовать формулу дискриминанта. В данном случае, мы можем факторизовать его следующим образом:

(x+2)(x1)=0

Таким образом, мы получаем две возможные точки экстремума: x=2 и x=1.

Далее, мы можем проанализировать поведение функции в окрестности этих точек. Для этого, мы можем построить таблицу знаков производной и определить, где функция возрастает и убывает.

Мы знаем, что при x=2, производная равна нулю. Таким образом, функция достигает экстремума в этой точке. Чтобы определить, является ли это локальным максимумом или минимумом, мы можем проверить, как изменяется знак производной по обе стороны этой точки.

Подставим некоторые значения, близкие к x=2 в производную функции y":

y"(3)=6(3)2+6(3)12=181812=12<0

y"(1)=6(1)2+6(1)12=6612=12<0

Мы видим, что значения производной отрицательны как до, так и после точки x=2. Это означает, что функция убывает до 2 и продолжает убывать после 2. Таким образом, точка 2 является локальным максимумом.

Проделаем ту же процедуру для точки x=1. Подставим значения, близкие к x=1 в производную функции y":

y"(0)=6(0)2+6(0)12=12<0

y"(2)=6(2)2+6(2)12=24+1212=24>0

Мы видим, что значения производной отрицательны до точки x=1 и положительны после нее. Это означает, что функция убывает до 1 и начинает возрастать после 1. Таким образом, точка 1 является локальным минимумом.

Теперь, когда у нас есть информация о точках экстремума, мы можем также проанализировать поведение функции вне интервалов между этими точками. Мы знаем, что при x= и x=+, функция будет стремиться к бесконечности, так как старший член функции 2x3 имеет положительный коэффициент.

Наконец, мы можем построить график функции y=2x3+3x212x на основе информации, полученной из производной и анализа функции. Я построю график на следующем рисунке:

xy34222411100110216

Теперь у нас есть график функции, который показывает экстремумы и общее поведение функции.

[Если бы я был способен создавать графики, я бы вставил здесь изображение графика функции с помощью формата LaTeX.]

Надеюсь, этот подробный анализ и график помогут вам в понимании данной функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться. Я всегда готов помочь!
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello