Проведено площину, паралельну до осі циліндра, яка перетинає одну з його основ по хорді, яка стягує дугу 120 градусів

Пусть \(R\) - радиус основы цилиндра, а \(h\) - его высота.

Мы знаем, что плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает одну из его основ по хорде, которая стягивает дугу 120 градусов. Также, из центра другой основы цилиндра, эта хорда видна под прямым углом.

Рассмотрим плоскость, параллельную оси цилиндра, и пересекающую его основы по хорде \(AB\). Мы знаем, что эта хорда видна под прямым углом из центра другой основы цилиндра.

Так как хорда \(AB\) стягивает дугу 120 градусов, то угол \(\angle AOB\) равен 120 градусов, где \(O\) - центр основы цилиндра.

Прямоугольный треугольник \(AOB\) имеет прямой угол при вершине \(O\) и два равных угла при вершинах \(A\) и \(B\). Таким образом, треугольник \(AOB\) является равнобедренным.

Для равнобедренного треугольника медиана, проведенная из вершины, которая не лежит на основании, делит основание пополам. В нашем случае медиана \(OM\) делит хорду \(AB\) пополам.

Обозначим середину хорды \(AB\) как точку \(M\). Так как треугольник \(AOB\) равнобедренный, то точка \(M\) является серединой хорды и одновременно точкой касания плоскости с основанием цилиндра.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник \(OMB\), где \(OM\) - медиана и \(OB\) - радиус основы цилиндра.

Так как треугольник прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса \(OB\):

\[
OB^2 = OM^2 + MB^2
\]

Так как точки \(M\) и \(B\) являются серединами соответствующих сторон треугольника, мы можем записать выражение для радиуса в виде:

\[
OB^2 = \frac{1}{4} AB^2 + \frac{1}{4} AB^2 = \frac{1}{2} AB^2
\]

Так как хорда \(AB\) стягивает дугу 120 градусов, длина хорды равна длине диаметра, умноженной на синус половины центрального угла:

\[
AB = 2R \sin\left(\frac{120}{2}\right) = 2R \sin 60 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3}
\]

Теперь мы можем выразить выражение для радиуса:

\[
OB^2 = \frac{1}{2} AB^2 = \frac{1}{2} (R \sqrt{3})^2 = \frac{3}{2} R^2
\]

Значение радиуса \(R\) можно найти, решив уравнение:

\[
\frac{3}{2} R^2 = OB^2 \implies R^2 = \frac{2}{3} OB^2 \implies R = \sqrt{\frac{2}{3} OB^2}
\]

Таким образом, радиус основы цилиндра будет равен \(\sqrt{\frac{2}{3} \cdot OB^2}\), где \(OB\) - длина хорды \(AB\). Однако, нам необходимо знать значение высоты цилиндра (\(h\)), чтобы решить задачу полностью.