Просите указать на произвольном отрезке MN точку К так, чтобы отношение МК : KN было равно

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойство отношения точки деления отрезка.

Дано, что нужно найти точку К на отрезке MN, такую что отношение МК : KN будет равно некоторому значению. Обозначим это значение через c. Имеем:

МК : KN = c

Для начала, давайте представим отрезок MN на числовой оси. Пусть точка M имеет координату x1, а точка N - координату x2. Таким образом, отрезок MN будет иметь длину |x2 - x1|. Пусть точка K имеет координату x.

Теперь мы можем применить свойство отношения точки деления отрезка: отношение расстояния от M до точки K к расстоянию от точки K до N равно отношению длины отрезка МК к длине отрезка КN.

Используя эту информацию, мы можем записать уравнение:

(x - x1) : (x2 - x) = c

Возможно, это уравнение кажется сложным, но мы можем его решить шаг за шагом. Для начала, давайте избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на (x2 - x):

(x - x1) * (x2 - x) = c * (x2 - x)

Раскроем скобки:

x(x2 - x) - x1(x2 - x) = c(x2 - x)

После упрощения получаем:

x^2 - x*x2 - x*x + x^2 - x1*x2 + x*x1 = c*x2 - c*x

Сгруппируем подобные слагаемые:

2x^2 + (x*x1 - x*x2) - x*x1 = c*x2 - c*x

Упростим чуть дальше:

2x^2 - x*x2 + x*x1 - x*x1 = c*x2 - c*x

- x*x2 = c*x2 - c*x - 2x^2 + x*x2

Перенесём все слагаемые на одну сторону уравнения:

2x^2 - x*x2 + x*x1 - x*x1 - c*x2 + x*x2 + c*x = 0

2x^2 - c*x2 - c*x + x*x1 - x*x1 = 0

x^2 - (c*x2 + c*x)/2 + (x*x1 - x*x1)/2 = 0

x^2 - (c/2)*(x2 + x) + 0 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение, которое можно решить. Метод решения квадратных уравнений может быть разным в зависимости от значения параметра c, но можно воспользоваться квадратным трёхчленом или формулой дискриминанта, чтобы получить корни уравнения.

Итак, мы рассмотрели детальное решение задачи и получили квадратное уравнение для нахождения координаты точки К на отрезке MN, так чтобы отношение МК : KN было равно заданному значению c.