Принадлежит ли числу 132 последовательность арифметической прогрессии an, где a1 = 7 и a9

Для того чтобы определить, принадлежит ли число 132 заданной арифметической прогрессии, мы сначала должны найти все члены этой прогрессии. Для этого нам понадобится формула для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность между соседними членами прогрессии.

Нам даны значения первого члена \(a_1 = 7\) и девятого члена \(a_9\).

Поскольку девятый член неизвестен, нужно сначала его найти. Мы можем использовать формулу общего члена прогрессии для нахождения девятого члена:

\[a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d\]

Таким образом, для нахождения пропущенного значения \(a_9\) нам нужно знать разность \(d\) арифметической прогрессии.

Теперь давайте воспользуемся информацией, которую нам даёт число 132. Если 132 является членом этой арифметической прогрессии, значит, оно должно удовлетворять формуле общего члена прогрессии.

Для проверки, подставим \(a_n = 132\) и \(a_1 = 7\) в формулу общего члена:

\[132 = 7 + (n-1)d\]

Теперь у наc есть уравнение для нахождения разности \(d\). Для этого уравнения, нам нужно размерное уравнение, чтобы решить его.

Очевидно, что \(n\) должно быть больше 1 (мы не можем иметь член арифметической прогрессии до первого члена). Поэтому мы можем предположить, что \(n > 1\).

Теперь решим это уравнение, чтобы найти разность \(d\):

\[132 - 7 = (n-1)d\]
\[125 = (n-1)d\]

Здесь мы видим, что число 125 должно быть произведением \((n-1)\) и \(d\). Теперь мы должны найти все возможные комбинации натуральных чисел \((n-1)\) и \(d\), которые равны 125.

Найдем все такие пары чисел (\(n-1\), \(d\)), которые дают произведение 125:

\[
\begin{align*}
(1, 125) &: 125 \cdot 1 = 125 \\
(5, 25) &: 25 \cdot 5 = 125 \\
(25, 5) &: 5 \cdot 25 = 125 \\
(125, 1) &: 1 \cdot 125 = 125 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, мы нашли все возможные комбинации (\(n-1\), \(d\)).

Теперь вернемся к исходному уравнению:

\[132 = 7 + (n-1)d\]

Подставим все возможные значения (\(n-1\), \(d\)) и проверим, принадлежит ли число 132 арифметической прогрессии для каждой комбинации:

1. При (\(n-1\), \(d\)) = (1, 125):
\[132 = 7 + (1) \cdot 125\]
\[132 = 7 + 125\]
\[132 \neq 132\]

2. При (\(n-1\), \(d\)) = (5, 25):
\[132 = 7 + (5) \cdot 25\]
\[132 = 7 + 125\]
\[132 \neq 132\]

3. При (\(n-1\), \(d\)) = (25, 5):
\[132 = 7 + (25) \cdot 5\]
\[132 = 7 + 125\]
\[132 \neq 132\]

4. При (\(n-1\), \(d\)) = (125, 1):
\[132 = 7 + (125) \cdot 1\]
\[132 = 7 + 125\]
\[132 = 132\]

То есть, только при (\(n-1\), \(d\)) = (125, 1) число 132 представляет собой последовательность арифметической прогрессии с первым членом 7. Поскольку \(n\) должно быть больше 1, тогда \(n-1 > 0\). Это означает, что это может быть последний член прогрессии, но не может быть первым членом.

Таким образом, число 132 не принадлежит арифметической прогрессии с первым членом 7.