Принадлежат ли вершины треугольника плоскости α, если основания его биссектрис принадлежат этой плоскости? Обоснуйте

Чтобы определить, принадлежат ли вершины треугольника плоскости α, если основания его биссектрис принадлежат этой плоскости, нам нужно рассмотреть свойство биссектрис треугольника.

Биссектриса треугольника — это линия или отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла. Основные свойства биссектрис треугольника:

1) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности треугольника.
2) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Теперь вернемся к задаче. Если основания биссектрис принадлежат плоскости α, значит центр вписанной окружности треугольника лежит в этой плоскости.

Также по утверждению 2) свойства биссектрис, каждая биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если мы обозначим вершины треугольника как A, B и C, соответствующие противоположные стороны будут BC, AC и AB, а соответствующие биссектрисы будут биссектрисами углов треугольника при вершинах A, B и C.

Таким образом, основания биссектрис треугольника лежат на соответствующих сторонах, а центр вписанной окружности треугольника лежит в плоскости α. На основании данной информации можем сделать вывод, что вершины треугольника также должны лежать в плоскости α.

Таким образом, вершины треугольника принадлежат плоскости α, если основания его биссектрис принадлежат этой плоскости.