При яких значеннях x і y, хі додатні, і x+y = 5, яким найменшим може бути значення виразу 1/x+1/y?

Добро пожаловать! Для решения данной задачи нам нужно найти такие значения переменных \(x\) и \(y\), при которых оба числа будут положительными и сумма \(x+y\) будет равна 5. Затем найдем минимальное значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\).

Давайте начнем с условия, что \(x+y = 5\). Мы можем решить это уравнение, выразив одну переменную через другую:

\[y = 5 - x.\]

Теперь, чтобы найти минимальное значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\), мы можем подставить выражение для \(y\) в это выражение:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x}.\]

Мы можем объединить две дроби, используя общий знаменатель \(x(5-x)\):

\[\frac{5-x+x}{x(5-x)} = \frac{5}{x(5-x)}.\]

Таким образом, значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) будет равно \(\frac{5}{x(5-x)}\).

Теперь мы должны найти минимальное значение этого выражения. Заметим, что \(x(5-x)\) будет максимальным, когда \(x\) находится в середине между \(0\) и \(5\), то есть при \(x = \frac{5}{2}\). Подставим это значение \(x\) в нашу формулу:

\[\frac{5}{\frac{5}{2}\left(5 - \frac{5}{2}\right)}.\]

Мы можем упростить это выражение:

\[\frac{5}{\frac{25}{4}} = \frac{5 \cdot 4}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}.\]

Значит, минимальное значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) равно \(\frac{4}{5}\) при \(x = \frac{5}{2}\) и \(y = \frac{5}{2}\).

Таким образом, ответ на задачу заключается в следующем:
При \(x = \frac{5}{2}\) и \(y = \frac{5}{2}\) (или \(x = 2.5\) и \(y = 2.5\)) значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) будет минимальным и равным \(\frac{4}{5}\).