При яких значеннях x і y, хі додатні, і x+y = 5, яким найменшим може бути

Question

Математика: При яких значеннях x і y, хі додатні, і x+y = 5, яким найменшим може бути значення виразу 1/x+1/y?

Александровна_792 · Accepted Answer

Добро пожаловать! Для решения данной задачи нам нужно найти такие значения переменных

x

и

y

, при которых оба числа будут положительными и сумма

x + y

будет равна 5. Затем найдем минимальное значение выражения

\frac{1}{x} + \frac{1}{y}

.

Давайте начнем с условия, что

x + y = 5

. Мы можем решить это уравнение, выразив одну переменную через другую:

y = 5 - x .

Теперь, чтобы найти минимальное значение выражения

\frac{1}{x} + \frac{1}{y}

, мы можем подставить выражение для

y

в это выражение:

\frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x} .

Мы можем объединить две дроби, используя общий знаменатель

x (5 - x)

:

\frac{5 - x + x}{x (5 - x)} = \frac{5}{x (5 - x)} .

Таким образом, значение выражения

\frac{1}{x} + \frac{1}{y}

будет равно

\frac{5}{x (5 - x)}

.

Теперь мы должны найти минимальное значение этого выражения. Заметим, что

x (5 - x)

будет максимальным, когда

x

находится в середине между

0

и

5

, то есть при

x = \frac{5}{2}

. Подставим это значение

x

в нашу формулу:

\frac{5}{\frac{5}{2} (5 - \frac{5}{2})} .

Мы можем упростить это выражение:

\frac{5}{\frac{25}{4}} = \frac{5 \cdot 4}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} .

Значит, минимальное значение выражения

\frac{1}{x} + \frac{1}{y}

равно

\frac{4}{5}

при

x = \frac{5}{2}

и

y = \frac{5}{2}

.

Таким образом, ответ на задачу заключается в следующем:
При

x = \frac{5}{2}

и

y = \frac{5}{2}

(или

x = 2.5

и

y = 2.5

) значение выражения

\frac{1}{x} + \frac{1}{y}

будет минимальным и равным

\frac{4}{5}

.

При яких значеннях x і y, хі додатні, і x+y = 5, яким найменшим може бути значення виразу 1/x+1/y?