При умножении всех элементов квадратной матрицы А третьего порядка на 2, изменится ее определитель следующим образом

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство определителей, согласно которому, если все элементы определителя матрицы умножаются на число \( k \), то определитель тоже умножается на \( k \).

а) При умножении всех элементов квадратной матрицы \( A \) третьего порядка на 2, определитель будет увеличиваться в 2 раза. Обоснуем это.

Пусть матрица \( A \) имеет вид:
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]

Тогда новая матрица \( B \), полученная умножением всех элементов матрицы \( A \) на 2, будет иметь вид:
\[ B = \begin{bmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{bmatrix} \]

Следовательно, новый определитель матрицы \( B \) равен:
\[ \det(B) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \det(A) = 8 \cdot \det(A) \]

Ответ: а) увеличится в 8 раз.

б) При делении всех элементов второй строки квадратной матрицы \( A \) третьего порядка на 2, определитель будет уменьшаться в 2 раза. Обоснуем это.

Пусть матрица \( A \) имеет вид:
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]

Тогда новая матрица \( C \), полученная делением всех элементов второй строки матрицы \( A \) на 2, будет иметь вид:
\[ C = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{{a_{21}}}{2} & \frac{{a_{22}}}{2} & \frac{{a_{23}}}{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]

Следовательно, новый определитель матрицы \( C \) равен:
\[ \det(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \det(A) = \frac{1}{8} \cdot \det(A) \]

Ответ: б) уменьшится в 8 раз.