При какой угловой скорости w цепочка будет соскальзывать с цилиндра, если она однородная кольцевая металлическая

Для решения этой задачи нужно использовать законы динамики и условие равновесия системы.

В данной задаче цепочка находится в состоянии равновесия. Следовательно, сумма сил, действующих на цепочку, должна быть равна нулю.

Первой силой, действующей на цепочку, является сила тяжести \( F_{\text{тяж}} \), направленная вниз. В данном случае, она равна весу цепочки и может быть найдена по формуле \( F_{\text{тяж}} = m \cdot g \), где \( m = 314 \) г - масса цепочки, а \( g \) - ускорение свободного падения (\( g = 9,8 \) м/с²).

Второй силой, действующей на цепочку, является сила натяжения \( F_{\text{нат}} \), направленная вверх. В данном случае, она равна \( 2 \) Н.

Третьей силой, действующей на цепочку, является сила трения скольжения по дереву \( F_{\text{тр}} \), которая направлена влево и составляет коэффициент трения умноженный на нормальную силу. Нормальная сила в данной задаче равна силе тяжести цепочки, так как система находится в равновесии. Таким образом, \( F_{\text{тр}} = u \cdot F_{\text{нат}} \), где \( u = 0,4 \) - коэффициент трения.

Итак, уравновешивая все силы, получим: \( F_{\text{тяж}} - F_{\text{нат}} - F_{\text{тр}} = 0 \).

Подставляя выражения для сил, получим: \( m \cdot g - F_{\text{нат}} - u \cdot F_{\text{нат}} = 0 \).

Разделяя массу цепочки и силу натяжения на общий коэффициент \( F_{\text{нат}} \), получим: \( g - 1 - u = 0 \).

Теперь можно найти угловую скорость, при которой цепочка начнет соскальзывать с цилиндра.

Угловая скорость \( w \) связана с угловым ускорением \( \alpha \) и радиусом цилиндра \( r \) следующим образом: \( w = r \cdot \alpha \).

Угловое ускорение, в свою очередь, связано с периодом \( T \) движения цепочки по окружности формулой: \( \alpha = \frac{2\pi}{T^2} \).

Таким образом, формула для угловой скорости примет вид: \( w = r \cdot \frac{2\pi}{T^2} \).

Теперь осталось только выразить период движения \( T \) через известные величины.

Период движения цепочки можно выразить, используя формулу для периода колебаний математического маятника: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \), где \( l \) - длина цепочки.

Длину цепочки можно найти, используя формулу \( l = 2\pi r \).

Подставим это выражение для длины в формулу для периода: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{2\pi r}{g}} \).

Теперь подставим полученное выражение для \( T \) в формулу для угловой скорости: \( w = r \cdot \frac{2\pi}{\left(2\pi\sqrt{\frac{2\pi r}{g}}\right)^2} \).

Упростим это выражение, раскрыв скобки и упростив числитель: \( w = r \cdot \frac{8\pi^2g}{8\pi^2r} \).

Уменьшив наименователи, получим: \( w = g \).

Таким образом, угловая скорость, при которой цепочка будет соскальзывать с цилиндра, равна ускорению свободного падения и составляет \( g = 9,8 \) м/с².

На этом решение задачи завершено.