При каком положительном x-значении точки A площадь треугольника ABC будет минимальной, если прямые y = 3x-3 и x=-1

Чтобы найти положительное значение x для точки A, при котором площадь треугольника ABC будет минимальной, нужно использовать метод определения минимума функции площади треугольника в зависимости от положения точки A на координатной плоскости. Давайте разберемся пошагово.

1. Сначала найдем координаты точки B, где прямая y = 3x-3 пересекает прямую x = -1. Подставим x = -1 в уравнение прямой, чтобы найти y-координату точки B:
\[y = 3(-1) - 3 = -6\]
Таким образом, координаты точки B равны B(-1, -6).

2. Затем найдем уравнение прямой, проходящей через точку M(1;2) и пересекающую прямые y = 3x-3 и x = -1. Чтобы найти это уравнение, воспользуемся методом двух точек. Сначала найдем угловой коэффициент прямой, соединяющей точки M и B:
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{2 - (-6)}}{{1 - (-1)}} = \frac{8}{2} = 4\]
Теперь, используя уравнение прямой вида y = mx + b и подставляя координаты точки M (1, 2), получим:
\[2 = 4 \cdot 1 + b\]
\[2 = 4 + b\]
\[b = -2\]
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые y = 3x-3 и x = -1, выглядит следующим образом:
\[y = 4x - 2\]

3. Теперь находим координаты точки A, которые обозначаются как (x, y). Подставляем уравнение прямой y = 4x - 2 в уравнение прямой y = 3x-3, чтобы найти координаты точки пересечения A:
\[3x - 3 = 4x - 2\]
\[x = -1\]
\[y = 4 \cdot (-1) - 2 = -6\]
Таким образом, координаты точки A равны A(-1, -6).

4. Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, используем формулу для площади треугольника, основанную на координатах вершин:
\[S = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\]
Подставим координаты точек A (-1, -6), B (-1, -6) и C (-1, 3x-3) в формулу:
\[S = \frac{1}{2} \cdot |-1((-6) - (3x - 3)) + (-1)((3x - 3) - (-6)) + (-1)((-6) - (-6))|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot |-6 + 3x - 3 + 3x - 3 + 0|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot |-6 + 6x - 6|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot |6x - 12|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6|x - 2|\]
\[S = 3|x - 2|\]

5. Теперь мы можем заметить, что значение выражения \(|x - 2|\) будет минимальным, когда \(x = 2\), так как единственный способ получить абсолютное значение равным нулю является равенство \(x - 2 = 0\). Поэтому для нахождения положительного значения x, при котором площадь треугольника ABC будет минимальной, необходимо найти максимальное значение \(S\) при \(x = 2\), так как \(|x - 2|\) будет равно нулю.
\[S = 3|2 - 2|\]
\[S = 3 \cdot 0\]
\[S = 0\]
Таким образом, площадь треугольника ABC будет минимальной, когда значение \(x\) равно 2. При этом площадь треугольника будет равна 0.