При каком положительном x-значении точки A площадь треугольника ABC будет минимальной, если прямые y = 3x-3 и x=-1

Чтобы найти положительное значение x для точки A, при котором площадь треугольника ABC будет минимальной, нужно использовать метод определения минимума функции площади треугольника в зависимости от положения точки A на координатной плоскости. Давайте разберемся пошагово.

1. Сначала найдем координаты точки B, где прямая y = 3x-3 пересекает прямую x = -1. Подставим x = -1 в уравнение прямой, чтобы найти y-координату точки B:
$$y=3(-1)-3=-6$$
Таким образом, координаты точки B равны B(-1, -6).

2. Затем найдем уравнение прямой, проходящей через точку M(1;2) и пересекающую прямые y = 3x-3 и x = -1. Чтобы найти это уравнение, воспользуемся методом двух точек. Сначала найдем угловой коэффициент прямой, соединяющей точки M и B:
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-(-6)}{1-(-1)}=\frac{8}{2}=4$$
Теперь, используя уравнение прямой вида y = mx + b и подставляя координаты точки M (1, 2), получим:
$$2=4\cdot 1+b$$
$$2=4+b$$
$$b=-2$$
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M и пересекающей прямые y = 3x-3 и x = -1, выглядит следующим образом:
$$y=4x-2$$

3. Теперь находим координаты точки A, которые обозначаются как (x, y). Подставляем уравнение прямой y = 4x - 2 в уравнение прямой y = 3x-3, чтобы найти координаты точки пересечения A:
$$3x-3=4x-2$$
$$x=-1$$
$$y=4\cdot (-1)-2=-6$$
Таким образом, координаты точки A равны A(-1, -6).

4. Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABC, используем формулу для площади треугольника, основанную на координатах вершин:
$$S=\frac{1}{2}\cdot |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$$
Подставим координаты точек A (-1, -6), B (-1, -6) и C (-1, 3x-3) в формулу:
$$S=\frac{1}{2}\cdot |-1((-6)-(3x-3))+(-1)((3x-3)-(-6))+(-1)((-6)-(-6))|$$
$$S=\frac{1}{2}\cdot |-6+3x-3+3x-3+0|$$
$$S=\frac{1}{2}\cdot |-6+6x-6|$$
$$S=\frac{1}{2}\cdot |6x-12|$$
$$S=\frac{1}{2}\cdot 6|x-2|$$
$$S=3|x-2|$$

5. Теперь мы можем заметить, что значение выражения $|x-2|$ будет минимальным, когда $x=2$, так как единственный способ получить абсолютное значение равным нулю является равенство $x-2=0$. Поэтому для нахождения положительного значения x, при котором площадь треугольника ABC будет минимальной, необходимо найти максимальное значение $S$ при $x=2$, так как $|x-2|$ будет равно нулю.
$$S=3|2-2|$$
$$S=3\cdot 0$$
$$S=0$$
Таким образом, площадь треугольника ABC будет минимальной, когда значение $x$ равно 2. При этом площадь треугольника будет равна 0.