При каких значениях x функция (корень x -2)/(x-4) достигает своего максимального значения?

Чтобы найти значения x, при которых функция достигает своего максимального значения, мы можем воспользоваться производной функции и исследовать ее поведение.

Для начала найдем производную функции. Для этого применим правило дифференцирования частного функций. Пусть функция f(x) = (корень x - 2)/(x - 4), тогда производная функции f"(x) будет равна:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \right) \]

Для удобства вычислений, мы можем переписать функцию в следующем виде:

\[ f(x) = (x^{1/2} - 2)(x - 4)^{-1} \]

Теперь производим дифференцирование по правилу:

\[ f"(x) = (1/2)x^{-1/2}(x - 4)^{-1} - (x^{1/2} - 2)(x - 4)^{-2} \]

Далее мы можем упростить это выражение:

\[ f"(x) = \frac{1}{2x^{1/2}(x - 4)} - \frac{x^{1/2} - 2}{(x - 4)^2} \]

Чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю и функция достигает максимума, мы приравниваем производную к нулю:

\[ \frac{1}{2x^{1/2}(x - 4)} - \frac{x^{1/2} - 2}{(x - 4)^2} = 0 \]

Выбрав общий знаменатель и упростив выражение, получаем:

\[ \frac{x - 4 - 2(x^{1/2} - 2)}{2x^{1/2}(x - 4)} = 0 \]

\[ \frac{x - 4 - 2x^{1/2} + 4}{2x^{1/2}(x - 4)} = 0 \]

\[ \frac{x - 2x^{1/2}}{2x^{1/2}(x - 4)} = 0 \]

Разделим числитель и знаменатель на \(2x^{1/2}\) получаем:

\[ \frac{x^{1/2} - 2}{x^{1/2}(x - 4)} = 0 \]

Теперь наша цель найти значения x, при которых числитель равен нулю:

\[ x^{1/2} - 2 = 0 \]

\[ x^{1/2} = 2 \]

Возводя обе стороны в квадрат, получаем:

\[ x = 4 \]

Таким образом, функция достигает своего максимального значения при x = 4.

При этом значении функция принимает значение:

\[ f(4) = \frac{\sqrt{4} - 2}{4 - 4} = \frac{2 - 2}{0} \]

Заметим, что в знаменателе получаем 0, а деление на 0 не определено. Это означает, что функция в точке x = 4 не достигается максимального значения.

Мы можем заметить, что функция имеет асимптоту при x = 4. То есть, функция приближается к бесконечности, но не достигает его, при x, стремящемся к 4. Это означает, что функция убывает до x = 4 и не возрастает после этого значения.