При каких значениях переменной v трехчлен -v^2 - 15v - 1100 принимает неотрицательные значения? Допустимые значения

Чтобы определить при каких значениях переменной \(v\) трехчлен \(-v^2 - 15v - 1100\) принимает неотрицательные значения, мы должны решить неравенство \(-v^2 - 15v - 1100 \geq 0\).

Для начала, построим график этого трехчлена. Так как коэффициент перед \(v^2\) отрицательный, график будет представлять собой параболу, которая направлена вниз.

Координаты вершины параболы можно найти с помощью формулы \(v = - \frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - соответственно коэффициенты перед \(v^2\) и \(v\). В нашем случае \(a = -1\) и \(b = -15\), поэтому \(v = - \frac{-15}{2 \cdot -1} = -\frac{-15}{-2} = -\frac{15}{2} = -7.5\). Таким образом, вершина параболы будет расположена в точке \((-7.5, f(-7.5))\).

Теперь проанализируем возможные случаи:

1. Когда \(v < -110\): В этом случае \(v\) находится в интервале \((-\infty, -110)\). Подставляем любое значение \(v\) из этого интервала в исходное неравенство и проверяем знак выражения. Заметим, что все значения получаются отрицательными. То есть, неравенство не выполняется в данном интервале.

2. Когда \(v = -110\): Подставляем данное значение \(v\) в исходное неравенство и получаем \(-110^2 -15 \cdot (-110) - 1100\). Вычисляя это выражение, получаем 0, что означает, что неравенство выполняется для \(v = -110\).

3. Когда \(v > -110\): В этом случае значение \(v\) принадлежит интервалу \((-110, +\infty)\). Подставляем любое значение \(v\) из этого интервала в исходное неравенство и проверяем знак выражения. Мы замечаем, что все значения получаются неотрицательными. То есть, неравенство выполняется в данном интервале.

Таким образом, значения переменной \(v\), при которых трехчлен \(-v^2 - 15v - 1100\) принимает неотрицательные значения, находятся в интервале \((-110, +\infty)\) объединенном с точкой \(-110\): \((-110, +\infty) \cup \{-110\}\).