При каких значениях переменной v трехчлен -v^2 - 15v - 1100 принимает неотрицательные значения? Допустимые значения

Чтобы определить при каких значениях переменной $v$ трехчлен $-v^2-15v-1100$ принимает неотрицательные значения, мы должны решить неравенство $-v^2-15v-1100\ge 0$.

Для начала, построим график этого трехчлена. Так как коэффициент перед $v^2$ отрицательный, график будет представлять собой параболу, которая направлена вниз.

Координаты вершины параболы можно найти с помощью формулы $v=-\frac{b}{2a}$, где $a$ и $b$ - соответственно коэффициенты перед $v^2$ и $v$. В нашем случае $a=-1$ и $b=-15$, поэтому $v=-\frac{-15}{2\cdot -1}=-\frac{-15}{-2}=-\frac{15}{2}=-7.5$. Таким образом, вершина параболы будет расположена в точке $(-7.5,f(-7.5))$.

Теперь проанализируем возможные случаи:

1. Когда $v<-110$: В этом случае $v$ находится в интервале $(-\mathrm{\infty },-110)$. Подставляем любое значение $v$ из этого интервала в исходное неравенство и проверяем знак выражения. Заметим, что все значения получаются отрицательными. То есть, неравенство не выполняется в данном интервале.

2. Когда $v=-110$: Подставляем данное значение $v$ в исходное неравенство и получаем $-{110}^2-15\cdot (-110)-1100$. Вычисляя это выражение, получаем 0, что означает, что неравенство выполняется для $v=-110$.

3. Когда $v>-110$: В этом случае значение $v$ принадлежит интервалу $(-110,+\mathrm{\infty })$. Подставляем любое значение $v$ из этого интервала в исходное неравенство и проверяем знак выражения. Мы замечаем, что все значения получаются неотрицательными. То есть, неравенство выполняется в данном интервале.

Таким образом, значения переменной $v$, при которых трехчлен $-v^2-15v-1100$ принимает неотрицательные значения, находятся в интервале $(-110,+\mathrm{\infty })$ объединенном с точкой $-110$: $(-110,+\mathrm{\infty })\cup \{-110\}$.