При каких значениях коэффициента трения скольжения мешок остановится после соударения, если его бросают с крыши вверх

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о движении тела с законами Ньютона и коэффициенте трения скольжения.

Давайте начнем с рассмотрения движения мешка до соударения с крышей. Мы знаем, что мешок движется горизонтально, поэтому горизонтальная составляющая его начальной скорости будет равна начальной скорости. Обозначим эту скорость как \(v\). Также у нас есть информация о том, что \(\tan(\alpha) = \frac{8}{3}\), следовательно, отношение вертикальной составляющей скорости к горизонтальной составляющей равно \(\frac{8}{3}\). То есть \(\frac{v_y}{v} = \frac{8}{3}\). Мы можем использовать это отношение, чтобы найти вертикальную составляющую скорости \(v_y\):

\[v_y = \frac{8}{3} \cdot v\]

Теперь рассмотрим движение мешка после соударения с крышей. После соударения мешок будет двигаться вниз под воздействием силы тяжести. Закон Ньютона гласит, что сила трения скольжения между мешком и крышей будет равна произведению коэффициента трения скольжения (\(\mu_k\)) на нормальную силу (\(N\)). Нормальная сила будет равна весу мешка (\(m \cdot g\)), где \(m\) - масса мешка, \(g\) - ускорение свободного падения.

С учетом этого мы можем записать уравнение для силы трения скольжения:

\[F_{\text{тр}} = \mu_k \cdot N\]

\[F_{\text{тр}} = \mu_k \cdot m \cdot g\]

Так как мешок движется в направлении к гребню, сила трения скольжения будет направлена в противоположную сторону по отношению к движению мешка.

Теперь давайте рассмотрим силы, действующие на мешок после соударения. Единственной силой, действующей по горизонтали, будет сила трения скольжения. Она будет направлена в противоположную сторону от движения мешка. Таким образом, у нас будет следующее равенство сил:

\[F_{\text{тр}} = m \cdot a\]

Где \(a\) - ускорение мешка после соударения с крышей.

Теперь мы можем приравнять эти два выражения для сил трения:

\[\mu_k \cdot m \cdot g = m \cdot a\]

Масса \(m\) сократится:

\[\mu_k \cdot g = a\]

Теперь нам нужно найти выражение для ускорения \(a\) в терминах известных величин. Поскольку мешок движется вниз, у нас есть следующее уравнение для вертикального движения:

\[a = g - \frac{v_y}{t}\]

\(g\) - ускорение свободного падения, \(v_y\) - вертикальная составляющая скорости мешка, \(t\) - время, прошедшее с момента соударения до остановки.

Мы также знаем, что после соударения движение замедляется, то есть мешок остановится после некоторого времени. Значит, \(a\) будет отрицательным и равным \(-\mu_k \cdot g\).

Теперь мы можем записать уравнение для ускорения:

\[-\mu_k \cdot g = g - \frac{v_y}{t}\]

Теперь давайте найдем выражение для \(v_y\). Мы уже знаем, что \(v_y = \frac{8}{3} \cdot v\).

Подставим это значение в уравнение:

\[-\mu_k \cdot g = g - \frac{8}{3} \cdot \frac{v}{t}\]

Давайте продолжим упрощать это уравнение. Сократим \(g\) и перенесем \(\frac{8}{3} \cdot \frac{v}{t}\) налево:

\[-\mu_k = 1 - \frac{8}{3} \cdot \frac{v}{g \cdot t}\]

Теперь давайте найдем выражение для отношения \(v\) к \(t\).

Используя разложение скорости на вертикальную и горизонтальную составляющие, мы можем записать:

\[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\]

Где \(v_x\) - горизонтальная составляющая скорости, \(v_y\) - вертикальная составляющая скорости.

Мы уже знаем, что начальная горизонтальная скорость \(v_x\) равна \(v\).
Подставим это значение в уравнение:

\[v = \sqrt{v^2 + (\frac{8}{3} \cdot v)^2}\]

Возводим оба выражения в квадрат:

\[v^2 = v^2 + (\frac{8}{3} \cdot v)^2\]

Теперь можно сократить \(v^2\) с обоих сторон:

\[0 = (\frac{8}{3} \cdot v)^2\]

Уравнение сводится к:

\[0 = \frac{64}{9} \cdot v^2\]

Это означает, что \(v = 0\) или \(v = \infty\).

Если \(v = 0\), то мешок остановится сразу же после соударения.

Таким образом, при \(v = 0\) и коэффициенте трения \(\mu_k\), равном нулю мешок остановится после соударения.

Если \(v = \infty\), то мешок продолжит движение и никогда не остановится.

Вывод: При коэффициенте трения \(\mu_k\), равном нулю, мешок остановится сразу же после соударения, если его бросают с крыши вверх в направлении к гребню и начальная скорость образует угол \(\alpha\) с горизонтальной плоскостью, при этом \(\tan(\alpha) = \frac{8}{3}\) и мешок движется горизонтально перед соударением с крышей.