Каков должен быть радиус алюминиевого шарика, покрытого парафином, чтобы он мог плавать в воде, погрузившись

Чтобы определить радиус алюминиевого шарика, покрытого парафином, который может "плавать" в воде, нужно учесть условие, что он должен погрузиться на половину. Для этого мы будем использовать принцип Архимеда.

Принцип Архимеда гласит, что тело, погруженное в жидкость, испытывает поддерживающую силу, равную весу выталкиваемой жидкости. То есть, если вес шарика равен или меньше веса выталкиваемой им жидкости, он "плавает".

Для начала, нам понадобятся значения плотности алюминия (\(\rho_{\text{ал}}\)) и парафина (\(\rho_{\text{пар}}\)). Допустим, плотность алюминия составляет 2,7 \(\text{г/см}^3\), а плотность парафина составляет около 0,9 \(\text{г/см}^3\).

Мы полагаем, что шарик погружается почти полностью, так что выталкиваемый им объем равен половине его общего объема.

Пусть \(R\) - это радиус шарика, \(V\) - его объем, \(V_{\text{пар}}\) - объем парафина, покрывающего шарик, а \(V_{\text{ал}}\) - объем шарика.

Объем шарика можно вычислить с помощью формулы для объема шара:

\[V_{\text{ал}} = \frac{4}{3} \pi R^3\]

Объем парафина можно получить, зная, что он покрывает только поверхность шарика:

\[V_{\text{пар}} = 4 \pi R^2 h\]

где \(h\) - высота парафина на шарике.

Так как шарик погружается на половину, то высота парафина равна половине радиуса шарика:

\[h = \frac{R}{2}\]

Теперь мы можем записать уравнение для суммарного объема:

\[V = V_{\text{ал}} + V_{\text{пар}} = \frac{4}{3} \pi R^3 + 4 \pi R^2 \left(\frac{R}{2}\right)\]

С учетом значений плотностей алюминия и парафина, мы можем также записать уравнение для веса выталкиваемой жидкости:

\[W_{\text{жидк}} = \rho_{\text{пар}} \cdot V_{\text{пар}}\]

Так как шарик "плавает", его вес должен быть равен весу выталкиваемой жидкости:

\[W_{\text{шар}} = W_{\text{жидк}}\]

Вес шарика можно выразить через его массу и ускорение свободного падения:

\[W_{\text{шар}} = m_{\text{шар}} \cdot g\]

С плотностью алюминия (плотность равна отношению массы к объему) и объемом:

\[m_{\text{шар}} = \rho_{\text{ал}} \cdot V_{\text{ал}}\]

Теперь мы можем записать уравнение:

\[\rho_{\text{ал}} \cdot V_{\text{ал}} \cdot g = \rho_{\text{пар}} \cdot V_{\text{пар}}\]

Подставим значения объемов и плотностей:

\[\rho_{\text{ал}} \cdot \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right) \cdot g = \rho_{\text{пар}} \cdot 4 \pi R^2 \left(\frac{R}{2}\right)\]

Теперь можем решить это уравнение относительно \(R\), выразив его:

\[R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot \rho_{\text{пар}}}{2 \cdot \rho_{\text{ал}}} \cdot \frac{1}{g}}\]

Здесь \(g\) - это ускорение свободного падения, принимаемое равным \(9,8 \, \text{м/с}^2\).

Таким образом, мы определили формулу для радиуса шарика, покрытого парафином, чтобы он мог "плавать" в воде, погрузившись на половину. Вам остается только подставить значения для плотности алюминия и парафина (\(\rho_{\text{ал}}\) и \(\rho_{\text{пар}}\)), а также ускорение свободного падения (\(g\)) и вычислить \(R\).