При каких значениях k уравнение x^4-36x^2+2k=0 имеет 4 корня?

Question

Алгебра: При каких значениях k уравнение x^4-36x^2+2k=0 имеет 4 корня? При

Murka · Accepted Answer

для начала посмотрим, что у нас есть. Уравнение имеет вид

x^{4} - 36 x^{2} + 2 k = 0

, где

k

- некоторое значение. Нам нужно найти значения

k

, при которых уравнение имеет 4 корня.

Для начала, заметим, что это квадратное уравнение относительно

x^{2}

. Сделаем замену переменной

y = x^{2}

, тогда уравнение примет вид:

y^{2} - 36 y + 2 k = 0

.

Теперь, чтобы у уравнения было 4 корня, дискриминант должен быть положительным, то есть

D > 0

. Рассчитаем дискриминант:

D = b^{2} - 4 a c

где

a = 1

,

b = - 36

,

c = 2 k

:

D = (- 36)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 k

D = 1296 - 8 k

Теперь мы знаем, что

D > 0

, поэтому:

1296 - 8 k > 0

Решим это неравенство:

8 k < 1296

k < \frac{1296}{8}

k < 162

Таким образом, уравнение будет иметь 4 корня при значениях

k

, которые меньше 162.

Мы можем дополнительно проверить это, решив уравнение при значении

k = 162

и убедиться, что при таком значении у нас будет ровно 4 корня.

При каких значениях k уравнение x^4-36x^2+2k=0 имеет 4 корня? При