При каких значениях для параметра s функция y=5x3−15x будет увеличиваться на интервале [2s−4;10s+10]?

Для решения этой задачи, нам нужно определить значения параметра \(s\), при которых функция \(y = 5x^3 - 15x\) будет увеличиваться на интервале \([2s-4; 10s+10]\).

Увеличение функции означает, что значения \(y\) должны увеличиваться с увеличением значения переменной \(x\). Для определения интервалов, на которых функция увеличивается, нам нужно найти производную функции и проанализировать знаки этой производной.

Давайте найдем производную функции \(y = 5x^3 - 15x\):
\[y" = \frac{d}{dx}(5x^3 - 15x)\]

Производная функции можно найти, применяя правило дифференцирования произведения и суммы:
\[y" = \frac{d}{dx}(5x^3) - \frac{d}{dx}(15x)\]

Мы применяем правило степенной функции и правило константы:
\[y" = 15x^2 - 15\]

Теперь давайте проанализируем знак производной \(y"\), чтобы определить интервалы, на которых функция \(y\) увеличивается.

Для этого мы знаем, что если производная положительна, то функция возрастает, если производная отрицательна, то функция убывает, и если производная равна нулю, то это может быть экстремум (минимум или максимум).

Решим неравенство \(y" > 0\):
\[15x^2 - 15 > 0\]

Теперь найдем значения \(x\), для которых это неравенство выполняется:
\[15x^2 > 15\]
\[x^2 > 1\]
\[x > 1 \quad \text{или} \quad x < -1\]

Итак, мы определили, что производная \(y"\) положительна на интервалах \((-∞, -1)\) и \((1, +∞)\).

Теперь рассмотрим интервал \([2s - 4, 10s + 10]\) и найдем значения параметра \(s\), при которых функция \(y\) будет увеличиваться на этом интервале.

Для этого должны выполняться два условия:
1) Значение \(2s - 4\) должно быть больше -1.
2) Значение \(10s + 10\) должно быть больше 1.

Решим первое неравенство:
\[2s - 4 > -1\]
\[2s > 3\]
\[s > \frac{3}{2}\]

Решим второе неравенство:
\[10s + 10 > 1\]
\[10s > -9\]
\[s > -\frac{9}{10}\]

Таким образом, функция \(y = 5x^3 - 15x\) будет увеличиваться на интервале \([2s-4; 10s+10]\), если значение параметра \(s\) принадлежит интервалу \((-\frac{9}{10}, +∞)\).

Обратите внимание, что мы исключили значения параметра \(s\), меньшие чем \(-\frac{9}{10}\), так как это нарушило бы условие \(10s + 10 > 1\), что противоречит интервалу, на котором функция должна увеличиваться.