При каких значениях c достигается максимальное значение у функции y=-2x^2+x+c?

Чтобы найти значения \(c\), при которых функция \(y = -2x^2 + x + c\) достигает максимального значения, мы можем применить метод завершения квадратного трехчлена.

Первым шагом давайте приведем функцию к виду завершенного квадратного трехчлена. Мы заметим, что у функции есть квадратный член \(x^2\), линейный член \(x\), и свободный член \(c\).

Для завершения квадратного трехчлена, нам необходимо добавить и вычесть определенное число таким образом, чтобы можем выделить квадратный трехчлен.

Рассмотрим функцию \(y = -2x^2 + x + c\). Чтобы добавить и вычесть необходимое число, мы заметим, что коэффициент при \(x\) равен 1. Чтобы получить квадратный трехчлен, мы можем добавить и вычесть \(\frac{1}{2}^2 = \frac{1}{4}\) перед линейным членом, т.е. \(y = -2x^2 + \frac{1}{4} + x + c - \frac{1}{4}\).

Теперь давайте перегруппируем члены:
\(y = -2x^2 + x + c - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\).

Мы можем объединить первые три члена в квадратный трехчлен:
\(y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x) + c - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\).

Теперь мы можем извлечь квадратный трехчлен:
\(y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + c\).

Отсюда видно, что функция является параболой, с осями симметрии, проходящими через точку \((\frac{1}{4}, 0)\). Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) равен -2.

Таким образом, максимальное значение функции будет достигаться, когда вершина параболы будет находиться выше оси \(x\). Вершина параболы имеет координаты \((\frac{1}{4}, c)\), поэтому максимальное значение достигается при \(c =\) значение \(y\) в вершине параболы.

Теперь рассмотрим как найти значение \(y\) в вершине параболы. Учитывая уравнение \(y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + c\), вершина параболы будет находиться при \(x = \frac{1}{4}\). Подставляя \(x = \frac{1}{4}\) в уравнение, мы получаем \(y = -2(\frac{1}{4} - \frac{1}{4})^2 + c = 0 + c = c\).

Итак, максимальное значение функции \(y = -2x^2 + x + c\) достигается при \(c = \frac{1}{4}\), где максимальное значение равно \(c\).