При адиабатической экспансии объем углекислого газа увеличился в 9 раз, что привело к уменьшению его внутренней энергии

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законом Гей-Люссака для идеального газа, который утверждает, что отношение объемов газа к его начальной температуре при адиабатическом процессе равно отношению температур газа перед и после процесса. Мы можем записать это соотношение следующим образом:

\[\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \left(\frac{T_2}{T_1}\right) \tag{1}\]

Где:
\(V_2\) - конечный объем газа
\(V_1\) - начальный объем газа
\(T_2\) - конечная температура газа
\(T_1\) - начальная температура газа

Также, мы знаем, что изменение внутренней энергии газа в адиабатическом процессе может быть связано с работой:

\[\Delta U = -W \tag{2}\]

Где:
\(\Delta U\) - изменение внутренней энергии газа
\(W\) - работа, совершенная газом

В данной задаче газ совершил работу за счет увеличения его объема, поэтому работу \(W\) можно выразить следующим образом:

\[W = -P \cdot \Delta V \tag{3}\]

Где:
\(P\) - давление газа
\(\Delta V\) - изменение объема газа

Так как процесс адиабатический, то \(P\) и \(T\) связаны между собой следующим соотношением:

\(P \cdot V^{\gamma}\) = const, где \(\gamma\) - показатель адиабаты

В нашем случае, так как газ - углекислый газ, показатель адиабаты \(\gamma = 1.4\), и поэтому мы можем записать:

\[P_1 \cdot V_1^{1.4} = P_2 \cdot V_2^{1.4} \tag{4}\]

Где:
\(P_1\) - начальное давление газа
\(P_2\) - конечное давление газа

Мы также можем выразить изменение объема \(\Delta V\) следующим образом:

\[\Delta V = V_2 - V_1 \tag{5}\]

Мы знаем, что \(\Delta U = -5000\) Дж, \(T_1 = 320\) К и \(V_2 = 9 \cdot V_1\).

Теперь мы можем приступить к решению задачи. Подставим значения в уравнение (1):

\[\left(\frac{9 \cdot V_1}{V_1}\right) = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)\]

Упростим:

9 = \(\frac{T_2}{320}\)

Умножим обе части на 320:

\(T_2\) = 9 \cdot 320 = 2880 К

Теперь найдем работу \(W\) по уравнению (2), (3) и (4):

\(\Delta U = -W\)

-5000 = -P \cdot \(\Delta V\)

\(P_1 \cdot V_1^{1.4} = P_2 \cdot (9 \cdot V_1)^{1.4}\)

Подставим значение \(\Delta V\) из уравнения (5):

-5000 = -P \cdot (9 \cdot V_1 - V_1)

Упростим:

-5000 = -8P \cdot V_1

Теперь мы знаем, что \(P = \frac{{n \cdot R \cdot T}}{V}\), где
\(n\) - количество вещества в молях
\(R = 8.314\) Дж/(моль \cdot К) - универсальная газовая постоянная
\(T = T_1\) - температура газа

Так как масса газа \(m = n \cdot M\), где
\(m\) - масса газа в граммах
\(M\) - молярная масса газа (в г/моль)

Тогда значение \(P\) можно переписать следующим образом:

\(P = \frac{{m \cdot R \cdot T}}{(M \cdot V)}\)

Подставим это значение в уравнение:

-5000 = -8 \cdot \(\frac{{m \cdot R \cdot T}}{(M \cdot V)} \cdot V_1\)

Упростим:

\(\frac{{m \cdot R \cdot T \cdot V_1}}{(M \cdot V)} = \frac{{5000}}{{8}}\)

Подставим известные значения \(R = 8.314\) Дж/(моль \cdot К), \(T_1 = 320\) К, \(V_1\) и \(V_2\) (соответственно начальный и конечный объемы газа) и найдем решение:

\(\frac{{m \cdot 8.314 \cdot 320 \cdot V_1}}{((44 \cdot 10^{-3}) \cdot 9 \cdot V_1)} = \frac{{5000}}{{8}}\)

Упростим:

\(m \cdot 8.314 \cdot 320 = \frac{{(44 \cdot 10^{-3}) \cdot 5000 \cdot 9 \cdot V_1}}{8}\)

Разделим обе части на \(8.314 \cdot 320\):

\(m = \frac{{(44 \cdot 10^{-3}) \cdot 5000 \cdot 9 \cdot V_1}}{{8 \cdot 8.314 \cdot 320}}\)

Подставим значение \(V_2 = 9 \cdot V_1\):

\(m = \frac{{(44 \cdot 10^{-3}) \cdot 5000 \cdot 9 \cdot 9 \cdot V_1}}{{8 \cdot 8.314 \cdot 320}}\)

Теперь подставим значения и вычислим массу газа \(m\):

\(m = \frac{{(44 \cdot 10^{-3}) \cdot 5000 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot V_1}}{{8 \cdot 8.314 \cdot 320}} = \frac{{79.2 \cdot V_1}}{{66.42352}}\)

Округлим полученное значение до ближайшего целого числа и ответим на задачу.