Представлены две окружности с общим центром O (см. рисунок 37). На одной из окружностей проведен диаметр АВ

Чтобы доказать, что четырехугольник АВСD является параллелограммом, нам необходимо применить свойство радиус-векторов.

Сначала рассмотрим радиус-вектора точек А и С, обозначим их как \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\) соответственно.

Так как диаметр АВ - это отрезок, проходящий через центр окружности O и имеющий концы в точках А и В, то вектор \(\overrightarrow{OA}\) будет равен противоположному вектору \(\overrightarrow{OB}\).

Также, так как диаметр СD - это отрезок, проходящий через центр окружности O и имеющий концы в точках С и D, то вектор \(\overrightarrow{OC}\) будет равен противоположному вектору \(\overrightarrow{OD}\).

Итак, получаем:

\(\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OC}\)

Теперь рассмотрим сумму векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\):

\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OB} + -\overrightarrow{OD}\)

Так как сложение векторов коммутативно, то это можно записать в виде:

\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = -(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})\)

Таким образом, мы получили, что векторы \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\) равны и имеют противоположные направления.

Согласно свойству параллелограмма, противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Таким образом, мы можем заключить, что четырехугольник АВСD является параллелограммом.

Альтернативный способ:

Если известно, что диаметр АВ пересекает диаметр СD в точке О, то по свойству центрального угла угол между диаметрами равен 90 градусов. Также, по свойству центрального угла, мы знаем, что угол между касательной и хордой равен углу, образованному этой хордой и дугой окружности, и он также равен 90 градусов.

Таким образом, мы видим, что углы А и С противолежащие углы, образованные двумя пересекающимися хордами диагоналей АВ и СD. Согласно свойству параллелограмма, противолежащие углы параллелограмма равны, поэтому угол А будет равен углу С.

Так как угол А равен углу С, мы можем заключить, что четырехугольник АВСD является параллелограммом.