Пожалуйста, найдите интервалы убывания и возрастания функции

Хорошо, чтобы найти интервалы убывания и возрастания функции, нам понадобится проанализировать производные функции. Давайте начнем с того, что вспомним, что такое производная функции.

Производная функции показывает изменение функции в каждой точке графика. Когда производная положительна, функция возрастает, а когда она отрицательна, функция убывает.

Первый шаг - найти производную функции. Для этого берем функцию и находим ее производную.

Допустим, у нас есть функция \(f(x)\). Ищем ее производную и обозначим ее как \(f"(x)\).

Затем, мы анализируем знак производной на различных интервалах, чтобы найти интервалы убывания и возрастания функции.

Если \(f"(x)\) положительна на интервале, то функция \(f(x)\) возрастает на этом интервале. Если \(f"(x)\) отрицательна, то функция \(f(x)\) убывает на этом интервале.

Теперь рассмотрим практический пример для лучшего понимания.

Допустим, у нас есть функция \(f(x) = x^3 - 3x^2\). Найдем производную этой функции, чтобы найти интервалы убывания и возрастания.

\[f"(x) = 3x^2 - 6x\]

Теперь посмотрим на знак производной \(f"(x)\). Чтобы найти интервалы убывания и возрастания, нам нужно найти значения x, при которых \(f"(x) > 0\) или \(f"(x) < 0\).

Решим неравенство \(f"(x) > 0\):

\[3x^2 - 6x > 0\]

Факторизуем его:

\[3x(x - 2) > 0\]

Теперь анализируем знаки множителей. У нас есть два множителя: \(3x\) и \(x - 2\).

Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1) \(3x > 0\) - это выполняется, когда \(x > 0\).
2) \(x - 2 > 0\) - это выполняется, когда \(x > 2\).

Теперь найдем значения x, при которых выполнены оба условия. Ответ: \(x > 2\).

Теперь решим неравенство \(f"(x) < 0\):

\[3x(x - 2) < 0\]

Здесь анализируем знаки каждого множителя, как и раньше:

1) \(3x < 0\) - это выполняется, когда \(0 < x < 2\).
2) \(x - 2 < 0\) - это выполняется, когда \(x < 2\).

Теперь найдем значения x, при которых выполняются оба условия. Ответ: \(0 < x < 2\).

Итак, интервалы убывания функции \(f(x)\) находятся в диапазонах \(0 < x < 2\) и \(x > 2\), а интервалы возрастания находятся вне этих интервалов.

Надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять, как найти интервалы убывания и возрастания функций.