Пожалуйста! 1. Проверьте, что если условие (1) выполняется для любых множеств a, b, c, то условие (2) также

Начнем с первой задачи.
Условие (1) гласит: \(a \cap b \subseteq c\).
Чтобы показать, что условие (2) также выполняется, нужно доказать, что \((a \setminus b) \cup (b \setminus a) \subseteq (a \cap b) \cup c\).

Доказательство:

Предположим, что \(x \in (a \setminus b) \cup (b \setminus a)\). Это значит, что \(x\) принадлежит либо \(a \setminus b\), либо \(b \setminus a\), либо обоим множествам.

Возможны следующие случаи:

Случай 1: Пусть \(x \in a \setminus b\). Это означает, что \(x\) принадлежит множеству \(a\), но не принадлежит множеству \(b\). Поскольку \(x\) принадлежит \(a\), а условие (1) \(a \cap b \subseteq c\) выполняется, то \(x \in c\). Следовательно, \(x \in (a \cap b) \cup c\).

Случай 2: Пусть \(x \in b \setminus a\). Это означает, что \(x\) принадлежит множеству \(b\), но не принадлежит множеству \(a\). Поскольку \(x\) принадлежит \(b\), а условие (1) \(a \cap b \subseteq c\) выполняется, то \(x \in c\). Следовательно, \(x \in (a \cap b) \cup c\).

Случай 3: Пусть \(x \in a \setminus b\) и \(x \in b \setminus a\). Это означает, что \(x\) одновременно принадлежит множеству \(a\) и \(b\), но не принадлежит им одновременно. Так как \(x\) принадлежит и \(a\) и \(b\), то он также принадлежит и их пересечению \(a \cap b\). Следовательно, \(x \in (a \cap b)\). Кроме того, условие (1) \(a \cap b \subseteq c\) выполняется, поэтому \(x \in c\). Таким образом, \(x \in (a \cap b) \cup c\).

Во всех случаях мы получили, что \(x \in (a \cap b) \cup c\), значит условие (2) выполнено.

Таким образом, мы доказали, что если условие (1) выполняется для любых множеств \(a\), \(b\), \(c\), то условие (2) также выполняется.

Перейдем ко второй задаче.
Равенство (1) гласит: \(a \times (b \cup c) = (a \times b) \cup (a \times (c \setminus b))\).

Чтобы определить, справедливо ли это равенство, нужно проверить его на произвольных множествах \(a\), \(b\), и \(c\).

Решение:

Рассмотрим элемент \((x, y)\), принадлежащий левой стороне равенства \(a \times (b \cup c)\). Это означает, что \(x\) принадлежит множеству \(a\), а \(y\) принадлежит множеству \(b \cup c\).

Разберем это на два случая:

Случай 1: Пусть \(y\) принадлежит \(b\). Тогда \((x, y)\) будет принадлежать множеству \(a \times b\), так как \(x\) принадлежит \(a\), а \(y\) принадлежит \(b\). Следовательно, \((x, y)\) принадлежит правой стороне равенства \((a \times b) \cup (a \times (c \setminus b))\).

Случай 2: Пусть \(y\) принадлежит \(c\), но не принадлежит \(b\). Тогда \((x, y)\) будет принадлежать множеству \(a \times (c \setminus b)\), так как \(x\) принадлежит \(a\), а \(y\) принадлежит \(c \setminus b\). Следовательно, \((x, y)\) также принадлежит правой стороне равенства \((a \times b) \cup (a \times (c \setminus b))\).

Таким образом, мы показали, что любой элемент, принадлежащий левой стороне равенства, также принадлежит правой стороне равенства.

Аналогично, можно показать, что любой элемент, принадлежащий правой стороне равенства, также принадлежит левой стороне равенства.

Таким образом, равенство (1) верно для произвольных множеств \(a\), \(b\) и \(c\).

Надеюсь, эти подробные объяснения помогут вам понять и решить задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь.