Потрібно знайти об єми розчинів оцту та оцтової есенції, які необхідні для приготування 1 літра оцту з масовою часткою

Щоб знайти об"єми розчину оцту та оцтової есенції, які необхідні для приготування 1 літра оцту з масовою часткою оцтової кислоти 9%, скористаємося масовим законом збереження речовини. Об"єм розчину можна визначити шляхом додавання об"ємів компонентів (оцту та оцтової есенції), які утворюють кінцевий розчин.

Нехай \(V_1\) - об"єм оцту (3%) та \(V_2\) - об"єм оцтової есенції (70%), які потрібно додати для приготування 1 літра оцту з масовою часткою 9%. Використовуємо формулу масових часток:

\[
\text{{Масова частка оцтової кислоти}} = \frac{{\text{{маса розчиненої речовини}}}}{{\text{{маса розчину}}}} \times 100\%
\]

Маса оцтової кислоти в 1 літрі цього розчину рівна \(9\% \times 1 \, \text{{кг}} = 0.09 \, \text{{кг}}\). Знаючи густину розчину (1 г/мл), можемо перетворити масу у об"єм:

\[0.09 \, \text{{кг}} = 90 \, \text{{г}} = 90 \, \text{{мл}}\]

Тепер, знаючи масові частки оцтової кислоти в оцті та оцтовій есенції, можемо записати наступну систему рівнянь:

\[
\begin{cases}
0.03V_1 + 0.7V_2 = 90 \\
V_1 + V_2 = 1000
\end{cases}
\]

Де 90 - обсяг (в мл), масової частки оцтової кислоти, яку необхідно отримати, і 1000 - загальний обсяг утвореного оцту (в мл).

Розв"язавши дану систему рівнянь, знайдемо значення \(V_1\) та \(V_2\). Давайте це зробимо:

1) Виразимо \(V_1\) з першого рівняння: \(V_1 = \frac{{90 - 0.7V_2}}{{0.03}}\)

2) Підставимо вираз для \(V_1\) в друге рівняння: \(\frac{{90 - 0.7V_2}}{{0.03}} + V_2 = 1000\)

3) Перетворимо рівняння, щоб отримати лінійне рівняння відносно \(V_2\):

\(\frac{{90 - 0.7V_2}}{{0.03}} + \frac{{0.03V_2}}{{0.03}} = \frac{{1000 \cdot 0.03}}{{0.03}}\)

\(\frac{{90 - 0.7V_2 + 0.03V_2}}{{0.03}} = 1000\)

\(\frac{{3(90 - 0.7V_2 + 0.03V_2)}}{{0.03}} = 1000\)

\(270 - 21V_2 + V_2 = 1000\)

\(270 - 20V_2 = 1000\)

4) Перенесемо \(270\) на другий бік рівняння: \(-20V_2 = 1000 - 270\)

\(-20V_2 = 730\)

5) Поділимо обидві частини на \(-20\): \(V_2 = \frac{{730}}{{-20}}\)

\(V_2 = -36.5\)

Отже, \(V_2 = -36.5\) мл. Оскільки об"єм не може бути від"ємним, є помилка в розрахунках.

Можна виключити можливість отримання від"ємного об"єму оцтової есенції, переходячи до рівняння з однією невідомою. В зв"язку з тим, що \(V_1 + V_2 = 1000\), можна записати:

\(V_1 = 1000 - V_2\)

Підставимо цей вираз у перше рівняння:

\(0.03(1000 - V_2) + 0.7V_2 = 90\)

\(30 - 0.03V_2 + 0.7V_2 = 90\)

\(0.67V_2 = 60\)

\(V_2 = \frac{{60}}{{0.67}}\)

\(V_2 \approx 89.55\)

Отже, \(V_2 \approx 89.55\) мл оцтової есенції. Для розрахунку \(V_1\) можемо використовувати рівняння \(V_1 = 1000 - V_2\):

\(V_1 = 1000 - 89.55\)

\(V_1 \approx 910.45\)

Отже, \(V_1 \approx 910.45\) мл оцту.

Отримали, що для приготування 1 літра оцту з масовою часткою оцтової кислоти 9% необхідно додати приблизно 910 мл оцту з масовою часткою оцтової кислоти 3% та 89 мл оцтової есенції з масовою часткою оцтової кислоти 70%.