Постройте скетч графика функции f, определите характер точек, если: f монотонно возрастает на интервале (-∞

\[f = x^2 - 3x + 2\]

Чтобы построить скетч графика функции \(f\), нам нужно сначала найти некоторые ключевые точки и интервалы.

1. Найдем вершину параболы, используя формулу \(x = \frac{-b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - это коэффициенты функции. В данном случае, \(a = 1\), \(b = -3\).

\[x = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{3}{2}, f\left(\frac{3}{2}\right)\right)\).

2. Теперь найдем \(f\left(\frac{3}{2}\right)\) для определения значения функции в вершине параболы.

\[f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + 2\]
\[f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{1}{4}\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)\).

3. Дальше посмотрим на знак производной функции в интервалах, чтобы определить характер точек.

3.1. Интервал \((-∞, 2]\):

Чтобы узнать, как меняется функция на этом интервале, возьмем производную \(f"(x)\) и проверим ее знак.

\[f"(x) = 2x - 3\]

Чтобы найти когда \(f\) монотонно возрастает, нужно найти значения \(x\), когда \(f"(x) > 0\):

\[2x - 3 > 0\]
\[2x > 3\]
\[x > \frac{3}{2}\]

Таким образом, функция \(f\) монотонно возрастает на интервале \((\frac{3}{2}, 2]\).

3.2. Интервал \([2, +∞)\):

Проверим знак производной \(f"(x)\) на этом интервале:

\[f"(x) = 2x - 3\]

Чтобы найти значения \(x\), когда \(f"(x) < 0\):

\[2x - 3 < 0\]
\[2x < 3\]
\[x < \frac{3}{2}\]

Таким образом, функция \(f\) монотонно убывает на интервале \((-\infty, \frac{3}{2})\).

Теперь мы можем построить скетч графика функции \(f\) и определить характер точек:


Вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)\). На интервале \((\frac{3}{2}, 2]\) функция \(f\) монотонно возрастает, а на интервале \((-\infty, \frac{3}{2})\) функция \(f\) монотонно убывает.