Постройте график функции y = 3/x+2. Определите ее область определения, множество значений и промежутки монотонности

Хорошо, давайте построим график функции $y=\frac{3}{x+2}$ и определим ее область определения, множество значений и промежутки монотонности.

Итак, чтобы начать, нам нужно определить область определения функции. Область определения - это множество всех значений переменной $x$, при которых функция определена. В данном случае, функция будет определена при любом значении $x$, за исключением $x=-2$, так как в этом случае знаменатель превратится в ноль, а деление на ноль невозможно. Таким образом, область определения функции $y=\frac{3}{x+2}$ будет равна $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,+\mathrm{\infty })$.

Чтобы найти множество значений функции, мы можем заметить, что при положительных значениях $x$ функция будет иметь положительное значение, а при отрицательных значениях $x$ функция будет иметь отрицательное значение. Функция $y=\frac{3}{x+2}$ не может равняться нулю, так как в знаменателе отсутствует переменная $x$. Таким образом, множество значений функции будет всем множеством действительных чисел, кроме нуля, т.е. $\mathbb{R}-\{0\}$.

Теперь рассмотрим промежутки монотонности функции. Для определения промежутков монотонности нужно проанализировать производную функции. Возьмем производную от $y=\frac{3}{x+2}$ по переменной $x$:

$$y"=-\frac{3}{(x+2{)}^2}$$

Мы получили производную функции. Заметим, что знак производной будет зависеть от знака числителя $-3$ и знака знаменателя $(x+2{)}^2$. Числитель постоянный и отрицательный, поэтому он не влияет на знак производной. Знаменатель является квадратом выражения $(x+2)$, то есть всегда положительным.

Таким образом, производная функции $y=\frac{3}{x+2}$ всегда отрицательна на всем промежутке определения функции, за исключением точки $x=-2$. Это означает, что функция убывает на промежутках $(-\mathrm{\infty },-2)$ и $(-2,+\mathrm{\infty })$, а также возрастает только в точке $x=-2$.

Теперь визуализируем эту информацию на графике функции.