Постройте график функции y = 3/x+2. Определите ее область определения, множество значений и промежутки монотонности

Хорошо, давайте построим график функции \(y = \frac{3}{x+2}\) и определим ее область определения, множество значений и промежутки монотонности.

Итак, чтобы начать, нам нужно определить область определения функции. Область определения - это множество всех значений переменной \(x\), при которых функция определена. В данном случае, функция будет определена при любом значении \(x\), за исключением \(x = -2\), так как в этом случае знаменатель превратится в ноль, а деление на ноль невозможно. Таким образом, область определения функции \(y = \frac{3}{x+2}\) будет равна \((- \infty, -2) \cup (-2, +\infty)\).

Чтобы найти множество значений функции, мы можем заметить, что при положительных значениях \(x\) функция будет иметь положительное значение, а при отрицательных значениях \(x\) функция будет иметь отрицательное значение. Функция \(y = \frac{3}{x+2}\) не может равняться нулю, так как в знаменателе отсутствует переменная \(x\). Таким образом, множество значений функции будет всем множеством действительных чисел, кроме нуля, т.е. \(\mathbb{R} - \{0\}\).

Теперь рассмотрим промежутки монотонности функции. Для определения промежутков монотонности нужно проанализировать производную функции. Возьмем производную от \(y = \frac{3}{x+2}\) по переменной \(x\):

\[
y" = -\frac{3}{(x+2)^2}
\]

Мы получили производную функции. Заметим, что знак производной будет зависеть от знака числителя \(-3\) и знака знаменателя \((x+2)^2\). Числитель постоянный и отрицательный, поэтому он не влияет на знак производной. Знаменатель является квадратом выражения \((x+2)\), то есть всегда положительным.

Таким образом, производная функции \(y = \frac{3}{x+2}\) всегда отрицательна на всем промежутке определения функции, за исключением точки \(x = -2\). Это означает, что функция убывает на промежутках \((- \infty, -2)\) и \((-2, +\infty)\), а также возрастает только в точке \(x = -2\).

Теперь визуализируем эту информацию на графике функции.