Постройте график функции f(x) = (x^4-41*x^2+400)/(x-5)(x+4

Хорошо! Давайте построим график функции \(f(x) = \frac{{x^4-41x^2+400}}{{(x-5)(x+4)}}\). Для начала, давайте разберемся с областью определения функции.

Область определения функции \(f(x)\) - это множество значений \(x\), для которых функция определена. В нашем случае, у функции \(f(x)\) есть два знаменателя: \((x-5)\) и \((x+4)\). Чтобы функция была определена, эти знаменатели не могут быть равны нулю. То есть, найдем значения \(x\), при которых \(x-5=0\) или \(x+4=0\).

\(x-5=0\) дает нам \(x=5\), а \(x+4=0\) дает \(x=-4\). Получается, что функция не определена для \(x=5\) и \(x=-4\). Итак, область определения функции \(f(x)\) - это все значения \(x\), кроме \(x=5\) и \(x=-4\).

Следующим шагом будет построение таблицы значений функции. Мы выбираем несколько значений \(x\), подставляем их в функцию и находим соответствующие значения \(f(x)\). Возьмем, например, значения: \(x=-3\), \(x=0\), \(x=3\), \(x=6\), \(x=8\). Подставим эти значения в функцию и найдем соответствующие значения \(f(x)\):

\[
\begin{align*}
f(-3) &= \frac{{(-3)^4-41(-3)^2+400}}{{(-3-5)(-3+4)}} \\
&= \frac{{81-369+400}}{{-8(1)}} \\
&= \frac{{81+31+400}}{{-8}} \\
&= \frac{{512}}{{-8}} \\
&= -64
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
f(0) &= \frac{{0^4-41(0)^2+400}}{{(0-5)(0+4)}} \\
&= \frac{{0-0+400}}{{-5(4)}} \\
&= \frac{{400}}{{-20}} \\
&= -20
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
f(3) &= \frac{{3^4-41(3)^2+400}}{{(3-5)(3+4)}} \\
&= \frac{{81-369+400}}{{-2(7)}} \\
&= \frac{{112}}{{-14}} \\
&= -8
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
f(6) &= \frac{{6^4-41(6)^2+400}}{{(6-5)(6+4)}} \\
&= \frac{{1296-1476+400}}{{1(10)}} \\
&= \frac{{220}}{{10}} \\
&= 22
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
f(8) &= \frac{{8^4-41(8)^2+400}}{{(8-5)(8+4)}} \\
&= \frac{{4096-2624+400}}{{3(12)}} \\
&= \frac{{1872}}{{36}} \\
&= 52
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть некоторые значения \(x\) и соответствующие значения \(f(x)\). Теперь мы можем построить график функции, используя эти значения.

График функции будет проходить через точки \((-3, -64)\), \((0, -20)\), \((3, -8)\), \((6, 22)\) и \((8, 52)\).

Давайте нарисуем график!