Постройте график функции f(x)=x²/2 +1 и проведите через него касательные, которые проходят через точки с абсциссами

Хорошо, давайте решим задачу и построим график функции \(f(x) = \frac{x^2}{2} + 1\).

Для начала, построим график функции \(f(x)\). Начертим координатные оси и отметим на оси значения функции, чтобы получить представление о форме графика.
Значения функции \(f(x)\) можно определить, подставив различные значения \(x\) и вычислив соответствующие значения \(f(x)\).

Когда мы подставим \(x = -2\), получим:
\[f(-2) = \frac{(-2)^2}{2} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3\]

Когда мы подставим \(x = -1\), получим:
\[f(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\]

Когда мы подставим \(x = 0\), получим:
\[f(0) = \frac{0^2}{2} + 1 = \frac{0}{2} + 1 = 0 + 1 = 1\]

Когда мы подставим \(x = 1\), получим:
\[f(1) = \frac{1^2}{2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\]

Когда мы подставим \(x = 2\), получим:
\[f(2) = \frac{2^2}{2} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3\]

Теперь, когда у нас есть несколько точек на графике, мы можем начертить плавную кривую через эти точки.

...

...

(построение графика)

...

...

Теперь, проведем касательные через точки с абсциссами \(x_0 = -2, 1, -1\) и \(2\).

Чтобы провести касательную через точку с абсциссой \(x_0\), нам понадобится найти производную функции \(f(x)\) и подставить \(x_0\) в эту производную.

Производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = \frac{d}{dx} (\frac{x^2}{2} + 1) = \frac{1}{2} \cdot 2x = x\]

Теперь подставим каждую из заданных точек в производную функцию, чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Для \(x_0 = -2\):
\[f"(-2) = -2\]

Для \(x_0 = 1\):
\[f"(1) = 1\]

Для \(x_0 = -1\):
\[f"(-1) = -1\]

Для \(x_0 = 2\):
\[f"(2) = 2\]

Таким образом, угловые коэффициенты касательных, проходящих через точки с абсциссами \(x_0 = -2, 1, -1\) и \(2\) соответственно, равны: \(-2, 1, -1\) и \(2\).

Теперь, определите знак углового коэффициента каждой касательной, используя график.
На графике функции \(f(x)\) угловой коэффициент положителен в тех областях, где функция возрастает, и отрицателен в тех областях, где функция убывает.

Таким образом:
- Касательная, проходящая через точку с абсциссой \(x_0 = -2\), имеет отрицательный угловой коэффициент, так как функция убывает в этой области.
- Касательная, проходящая через точку с абсциссой \(x_0 = 1\), имеет положительный угловой коэффициент, так как функция возрастает в этой области.
- Касательная, проходящая через точку с абсциссой \(x_0 = -1\), имеет отрицательный угловой коэффициент, так как функция убывает в этой области.
- Касательная, проходящая через точку с абсциссой \(x_0 = 2\), имеет положительный угловой коэффициент, так как функция возрастает в этой области.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как построить график функции \(f(x)\) и провести касательные через заданные точки, а также определить знак угловых коэффициентов касательных. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте их!