Поставлена фишка в каждую из 100 точек деления на окружности. Красных фишек 76, а синих - 24. Докажите следующие

Давайте рассмотрим данную задачу.

а) Мы знаем, что на окружности есть 100 точек деления, а количество красных фишек равно 76. Предположим, что нет двух красных фишек, расположенных на диаметрально противоположных сторонах окружности. Это означает, что каждая из 76 красных фишек должна быть соединена с одной другой красной фишкой, чтобы создать диаметральную линию.

Однако, поскольку на каждую красную фишку приходится одна другая, будем считать количество связей между красными фишками. Если каждая красная фишка соединена с другой красной фишкой, то всего будет 38 связей, так как 76/2 = 38. Но такие связи противоречат тому, что мы предположили.

Поэтому, предположение о том, что нет двух красных фишек, находящихся на диаметрально противоположных сторонах окружности, является ложным. Таким образом, можно утверждать, что среди данных 76 красных фишек найдутся две, которые находятся на диаметрально противоположных сторонах окружности.

б) Чтобы доказать, что среди красных фишек можно найти четыре фишки, образующие квадрат, посмотрим на возможные варианты таких четырех фишек.

Квадрат можно образовать, выбрав любую вершину квадрата и соединив ее с тремя другими вершинами, образуя стороны квадрата. Для того, чтобы найти максимальное количество квадратов, среди которых найдутся 4 красные фишки, рассмотрим следующую ситуацию:

Выберем одну из 76 красных фишек. Она может быть соединена с другими 3 красными фишками на одной стороне окружности, что образует один возможный квадрат. Теперь выберем следующую красную фишку, так чтобы она не была соединена с предыдущими фишками, и повторим процесс. В итоге мы получим количество квадратов, равное количеству красных фишек, так как каждая фишка может быть первой вершиной только для одного квадрата.

Таким образом, количество квадратов, которые можно образовать из 76 красных фишек, равно 76. Это доказывает, что среди красных фишек найдутся четыре такие, которые образуют квадрат.

В заключение, можем утверждать, что среди данных 76 красных фишек найдутся две фишки, которые находятся на диаметрально противоположных сторонах окружности, а также найдутся четыре фишки, образующие квадрат.