После завершения строительства осталось некоторое количество остаточных плиток. Их можно использовать для создания

Для решения этой задачи, давайте разберем каждый вариант по отдельности и посмотрим, сколько плиток останется после завершения строительства.

При использовании 7 плиток в каждом ряду количество остаточных плиток будет недостаточным для создания квадратной площадки. Это означает, что после использования всех плиток для создания прямоугольной площадки не останется ни одной дополнительной плитки.

При использовании 5 плиток в каждом ряду останется один неполный ряд. Рассмотрим, сколько плиток будет в этом неполном ряду. Поскольку в каждом ряду будет использоваться 5 плиток, мы можем представить общее количество плиток в виде \(5n + r\), где \(n\) - количество полных рядов, а \(r\) - количество плиток в неполном ряду. Мы знаем, что при использовании 5 плиток будет оставаться один неполный ряд, поэтому \(r < 5\). Также мы знаем, что при использовании 6 плиток также будет оставаться неполный ряд, содержащий на 3 плитки меньше, чем неполный ряд при использовании 5 плиток. Это означает, что \(r + 3\) равно количеству плиток в неполном ряду при использовании 6 плиток, и при этом значение \(r + 3\) также должно быть меньше 6. Из этих условий можно составить следующую систему уравнений:

\[\begin{cases} r < 5 \\ r + 3 < 6 \end{cases}\]

Из первого неравенства получаем, что \(r\) может принимать значения от 0 до 4. Подставляем эти значения во второе неравенство:

\[\begin{align*} r + 3 &< 6 \\ 0 + 3 &< 6 \\ 1 + 3 &< 6 \\ 2 + 3 &< 6 \\ 3 + 3 &< 6 \\ 4 + 3 &< 6 \end{align*}\]

Условие выполняется только при \(r = 1\) или \(r = 2\). Таким образом, возможные значения для \(r\) - 1 и 2.

Теперь, чтобы найти общее количество плиток, которые остаются после завершения строительства, мы можем использовать \(5n + r\). Подставляем различные значения \(r\) и находим соответствующие значения \(n\):

При \(r = 1\):
\[5n + 1\]
\[5 \cdot 0 + 1 = 1 \text{ плитка}\]
\[5 \cdot 1 + 1 = 6 \text{ плиток}\]
\[5 \cdot 2 + 1 = 11 \text{ плиток}\]

При \(r = 2\):
\[5n + 2\]
\[5 \cdot 0 + 2 = 2 \text{ плитки}\]
\[5 \cdot 1 + 2 = 7 \text{ плиток}\]
\[5 \cdot 2 + 2 = 12 \text{ плиток}\]

Таким образом, после завершения строительства остаются следующие количество плиток: 1, 2, 6, 7, 11 и 12.