После вращения вокруг начала координат точка А(4;0) перешла в точку A1(0;4). Найдите координаты точек, в которые

Дано: точка A(4;0) после вращения стала точкой A1(0;4).

1. Для начала определим угол в градусах между точкой A и A1. Для этого воспользуемся тригонометрическими функциями:
\[
\cos(\alpha) = \frac{|\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OA1}|}{|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OA1}|}
\]
\[
\cos(\alpha) = \frac{4 \cdot 0 + 0 \cdot 4}{\sqrt{4^2+0^2} \cdot \sqrt{0^2+4^2}} = 0.
\]

Отсюда получаем, что \(\alpha = 90°\).

2. Теперь найдем координаты точки A после поворота на 30° относительно центра O. Для этого воспользуемся матрицей поворота:
\[
\begin{pmatrix} x" \\ y" \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(30°) & -\sin(30°) \\ \sin(30°) & \cos(30°) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]

Подставляя координаты точки A(4;0) и угол поворота 30°, получаем:
\[
\begin{pmatrix} x" \\ y" \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \\ 2 \end{pmatrix}
\]

Таким образом, координаты точки A при повороте на 30° равны (2√3; 2). Обозначим эту точку A2.

3. Для нахождения координат точки A при повороте на 45° воспользуемся тем же методом:
\[
\begin{pmatrix} x" \\ y" \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(45°) & -\sin(45°) \\ \sin(45°) & \cos(45°) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} \end{pmatrix}
\]

Значит, координаты точки A при повороте на 45° равны (2√2; 2√2). Обозначим эту точку A3.

4. Наконец, найдем координаты точки A при повороте на 120°:
\[
\begin{pmatrix} x" \\ y" \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(120°) & -\sin(120°) \\ \sin(120°) & \cos(120°) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2\sqrt{3} \end{pmatrix}
\]

Таким образом, координаты точки A при повороте на 120° равны (-2; 2√3). Обозначаем эту точку A4.