После проведения ремонта дома, осталось некоторое количество плиток. Можно использовать эти плитки для строительства

Для решения данной задачи давайте введем обозначения. Пусть \(n\) - количество плиток, оставшихся после проведения ремонта дома.

Из условия задачи мы знаем, что плитки можно укладывать в ряды по 8 или по 9. При укладке в ряд по 8 плиток остается один неполный ряд, а при укладке в ряд по 9 остается также неполный ряд.

Обозначим через \(x\) количество рядов, уложенных по 8 плиток, и через \(y\) количество рядов, уложенных по 9 плиток.

Тогда получаем следующую систему уравнений:
\[
\begin{align*}
x \cdot 8 + 1 &= n \\
y \cdot 9 + 1 &= n
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений методом подстановки. Подставим первое уравнение во второе:
\[
y \cdot 9 + 1 = x \cdot 8 + 1
\]

Упростим уравнение:
\[
9y = 8x
\]

Данное уравнение имеет решения при \(\frac{x}{y} = \frac{9}{8}\).

Мы знаем, что \(x\) и \(y\) - натуральные числа, поэтому варианты значений \(\frac{x}{y}\) ограничены следующими парами: \(\left(\frac{9}{8}, 1\right)\), \(\left(\frac{18}{16}, 2\right)\), \(\left(\frac{27}{24}, 3\right)\), и так далее.

Подставим каждое из этих значений в первое уравнение системы и найдем соответствующие значения \(n\):
\[
\begin{align*}
\frac{9}{8} \cdot 8 + 1 &= 10 \\
\frac{18}{16} \cdot 8 + 1 &= 17 \\
\frac{27}{24} \cdot 8 + 1 &= 26 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, получаем, что осталось 10, 17 или 26 плиток после строительства дома, в зависимости от того, сколько рядов плиток было уложено.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как получить ответ на данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.