Порівняйте напруженості, що виникають у дротах, які розтягуються однаковими силами, але мають діаметри, відмінні

Для розуміння, як порівняти напруженості, які виникають у дротах з різними діаметрами, але розтягуються однаковими силами, розглянемо певний дріт з діаметром \(D\) та його навантаження.

Напруженість в дроті визначається як співвідношення сили дії (сили, за яку діють на дріт) до площі поперечного перерізу дроту. Формула для розрахунку напруженості \( \sigma \) (також називається натягом) виражається так:

\[
\sigma = \frac{F}{A}
\]

Де \( F \) - сила, що діє на дріт, \( A \) - площа поперечного перерізу дроту.

Зауважимо, що площа поперечного перерізу прямо пропорційна площі кола, оскільки діаметр \( D \) також змінюється у нас утри рази.

Формула площі кола \( A \) виражається так:

\[
A = \pi \cdot \left(\frac{D}{2}\right)^2
\]

Тепер, якщо ми порівнюємо напруженості в дротах, ми можемо скористатися цими формулами та зробити обрахунок.

Допустимо, що у нас є два дроти. Перший має діаметр \( D \), а другий має діаметр \( 3D \). Обидва дроти розтягуються однаковими силами \( F \).

Застосуємо формулу для розрахунку напруженості для першого дрота:

\[
\sigma_1 = \frac{F}{\pi \cdot \left(\frac{D}{2}\right)^2}
\]

А зараз застосуємо формулу для розрахунку напруженості для другого дрота:

\[
\sigma_2 = \frac{F}{\pi \cdot \left(\frac{3D}{2}\right)^2}
\]

Ми бачимо, що в обох формулах сила \( F \) однакова, тому ми можемо використовувати її без змін. Залишається тільки порівняти площі поперечного перетину.

Для спрощення обрахунків, зауважимо, що \( \left(\frac{D}{2}\right)^2 \) дорівнює \( \frac{D^2}{4} \).

Отже, ми можемо переписати формули для напруженості і отримаємо:

\[
\sigma_1 = \frac{4F}{\pi D^2}
\]

\[
\sigma_2 = \frac{4F}{\pi (3D)^2}
\]

Залишається порівняти ці дві напруженості:

\[
\sigma_1 = \frac{4F}{\pi D^2} \quad і \quad \sigma_2 = \frac{4F}{\pi (3D)^2}
\]

Просто виконуючи обчислення, ми можемо отримати відношення між напруженостями:

\[
\frac{{\sigma_1}}{{\sigma_2}} = \frac{{\frac{4F}{\pi D^2}}}{{\frac{4F}{\pi (3D)^2}}} = \frac{{3D^2}}{{D^2}} = 3
\]

Тож, ми бачимо, що напруженість, що виникає у дроті з меншим діаметром, втричі більша, ніж у дроті з більшим діаметром, коли обидва розтягуються однаковими силами.

Таким чином, можна зробити висновок, що при розтягуванні дротів за однаковими силами, дріт з меншим діаметром буде мати вищу напруженість, ніж дріт з більшим діаметром.