Пользуясь векторами, докажите, что середина отрезка bb1 находится на прямой, проходящей через вершины треугольника

Чтобы доказать, что середина отрезка \(bb_1\) находится на прямой, проходящей через вершины треугольника, мы воспользуемся свойством векторов.

Для начала, представим отрезок \(bb_1\) в виде вектора. Обозначим начало этого вектора как \(A\) и конец как \(B_1\). Пусть координатами точки \(A\) являются \(A(x_1, y_1)\), а координатами точки \(B_1\) - \(B_1(x_2, y_2)\).

Теперь вычислим вектор \(\vec{AB_1}\), который является разностью координат вектора \(B_1\) и \(A\):
\(\vec{AB_1} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}\)

Затем найдем вектор \(\vec{AC}\), где \(C\) - это вершина треугольника, отличная от \(A\) и \(B_1\). Пусть координатами точки \(C\) являются \(C(x_3, y_3)\):
\(\vec{AC} = \begin{pmatrix} x_3 - x_1 \\ y_3 - y_1 \end{pmatrix}\)

Теперь мы можем сравнить векторы \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{AC}\). Если они коллинеарны (то есть параллельны или сонаправлены), это будет означать, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.

Для этого воспользуемся тем, что векторы коллинеарны, если они будут пропорциональны. То есть, если найдется такое число \(k\), что:
\(\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AC}\)

Выразим координаты векторов:
\(x_2 - x_1 = k \cdot (x_3 - x_1)\)
\(y_2 - y_1 = k \cdot (y_3 - y_1)\)

Таким образом, мы получаем систему уравнений, которую можем решить относительно \(k\):
\(\begin{cases} x_2 - x_1 = k \cdot (x_3 - x_1) \\ y_2 - y_1 = k \cdot (y_3 - y_1) \end{cases}\)

Решая эту систему уравнений, мы найдем значение \(k\). Если найденное значение \(k\) является действительным числом, это будет означать, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.

Давайте я рассмотрю пример, чтобы показать, как это работает. Предположим, у нас есть треугольник с вершинами \(A(1, 2)\), \(B(4, 5)\) и \(C(6, 3)\). Мы хотим доказать, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.

Решение:
1. Найдем координаты точки \(B_1\), которая является серединой отрезка \(bb_1\). Для этого нужно найти среднее значение координат \(x\) и \(y\) точек \(B\) и \(B_1\).

\(x_1 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5\)
\(y_1 = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4\)

Таким образом, координаты точки \(B_1\) равны \(B_1(5, 4)\).

2. Теперь, используя найденные координаты, вычислим векторы \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{AC}\):
\(\vec{AB_1} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 6 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\)

3. Проверим, являются ли векторы \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарными. Для этого найдем значение \(k\).

\(\begin{cases} 4 = k \cdot 5 \\ 2 = k \cdot 1 \end{cases}\)

Решаем систему уравнений:
\(k = \frac{4}{5} = \frac{2}{1} = 2\)

Значит, найденное значение \(k\) является действительным числом, что означает, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.

Таким образом, мы доказали, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.