Пользуясь векторами, докажите, что середина отрезка bb1 находится на прямой, проходящей через вершины треугольника

Пользуясь векторами, докажите, что середина отрезка bb1 находится на прямой, проходящей через вершины треугольника abc.
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Скрытый_Тигр

Скрытый_Тигр

Чтобы доказать, что середина отрезка \(bb_1\) находится на прямой, проходящей через вершины треугольника, мы воспользуемся свойством векторов.

Для начала, представим отрезок \(bb_1\) в виде вектора. Обозначим начало этого вектора как \(A\) и конец как \(B_1\). Пусть координатами точки \(A\) являются \(A(x_1, y_1)\), а координатами точки \(B_1\) - \(B_1(x_2, y_2)\).

Теперь вычислим вектор \(\vec{AB_1}\), который является разностью координат вектора \(B_1\) и \(A\):
\(\vec{AB_1} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}\)

Затем найдем вектор \(\vec{AC}\), где \(C\) - это вершина треугольника, отличная от \(A\) и \(B_1\). Пусть координатами точки \(C\) являются \(C(x_3, y_3)\):
\(\vec{AC} = \begin{pmatrix} x_3 - x_1 \\ y_3 - y_1 \end{pmatrix}\)

Теперь мы можем сравнить векторы \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{AC}\). Если они коллинеарны (то есть параллельны или сонаправлены), это будет означать, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.

Для этого воспользуемся тем, что векторы коллинеарны, если они будут пропорциональны. То есть, если найдется такое число \(k\), что:
\(\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AC}\)

Выразим координаты векторов:
\(x_2 - x_1 = k \cdot (x_3 - x_1)\)
\(y_2 - y_1 = k \cdot (y_3 - y_1)\)

Таким образом, мы получаем систему уравнений, которую можем решить относительно \(k\):
\(\begin{cases} x_2 - x_1 = k \cdot (x_3 - x_1) \\ y_2 - y_1 = k \cdot (y_3 - y_1) \end{cases}\)

Решая эту систему уравнений, мы найдем значение \(k\). Если найденное значение \(k\) является действительным числом, это будет означать, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.

Давайте я рассмотрю пример, чтобы показать, как это работает. Предположим, у нас есть треугольник с вершинами \(A(1, 2)\), \(B(4, 5)\) и \(C(6, 3)\). Мы хотим доказать, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.

Решение:
1. Найдем координаты точки \(B_1\), которая является серединой отрезка \(bb_1\). Для этого нужно найти среднее значение координат \(x\) и \(y\) точек \(B\) и \(B_1\).

\(x_1 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5\)
\(y_1 = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4\)

Таким образом, координаты точки \(B_1\) равны \(B_1(5, 4)\).

2. Теперь, используя найденные координаты, вычислим векторы \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{AC}\):
\(\vec{AB_1} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 6 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\)

3. Проверим, являются ли векторы \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарными. Для этого найдем значение \(k\).

\(\begin{cases} 4 = k \cdot 5 \\ 2 = k \cdot 1 \end{cases}\)

Решаем систему уравнений:
\(k = \frac{4}{5} = \frac{2}{1} = 2\)

Значит, найденное значение \(k\) является действительным числом, что означает, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.

Таким образом, мы доказали, что середина отрезка \(bb_1\) лежит на прямой, проходящей через вершины треугольника.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello