Показати, що наприкінці точки В та С до кола зі центром О проведена дотична АВ така, що АС = СВ, то АО = ОВ. Дякую

Розглянемо задану задачу. Маємо коло з центром у точці О та дві точки В та С, розташовані на околі кола. Дотична АВ проведена до кола таким чином, що вона ділить відрізок СВ навпіл (тобто АС = СВ).

Нам потрібно довести, що АО = ОВ. Для цього розглянемо трикутник АОВ та порівняємо його сторони.

Позначимо радіус кола як r. Оскільки О є центром кола, то ОВ та ОА є радіусами кола і мають однакову довжину r.

Також, ми знаємо, що АС = СВ. Врахуючи це, ми можемо записати рівність довжин сторін трикутника АСО та тривтрикутника ВСО:

АС = CV,
AO = OV (відповідно до властивості радіуса кола).

Тепер, звернемо увагу на дві наступні рівності:

АС + СВ = АВ (за властивістю трикутника),
АС = СВ (за умовою задачі).

Звідси ми можемо зробити висновок, що АВ = 2АС.

Розглянемо трикутник АВС. Знаючи, що АВ = 2АС, ми можемо виразити довжину СА через АВ:

АС = (1/2)АВ.

Але, за умовою задачі, АС = СВ. Отже,

(1/2)АВ = СВ.

Тепер, розглянемо тривтрикутник АВО. У цьому трикутнику маємо:

АО = ОВ (за властивістю радіуса кола),
АВ = 2АС (за умовою задачі).

На підставі цих рівностей, ми можемо записати:

(1/2)АВ = АС = СВ = AO = OV.

Отже, доведено, що АО = ОВ.

Тепер ми можемо підсумувати наші висновки. Ми могли замітити, що у нашій задачі кут АОВ є прямим кутом. Задача про дотичну до кола з двома точками, розташованими навпроти одна одної, є спеціальним випадком, коли АОВ є прямим кутом.

Таким чином, у нашій задачі, доведено, що наприкінці точки В та С до кола зі центром О проведена дотична АВ така, що АС = СВ, то АО = ОВ.