Подтвердите, что сумма синусов меньше или равна

Для подтверждения этого утверждения, воспользуемся свойствами синусов и несколькими математическими доказательствами. Обратите внимание, что для этих рассуждений я буду использовать углы в радианах.

Дано утверждение: сумма синусов двух углов \( \alpha \) и \( \beta \) меньше или равна единице.

Докажем это пошагово:

Шаг 1: Представим синусы углов \( \alpha \) и \( \beta \) в виде их рядов Тейлора.

Согласно разложению синуса в ряд Тейлора:

\[
\sin(\alpha) = \alpha - \frac{{\alpha^3}}{{3!}} + \frac{{\alpha^5}}{{5!}} - \frac{{\alpha^7}}{{7!}} + \ldots
\]

\[
\sin(\beta) = \beta - \frac{{\beta^3}}{{3!}} + \frac{{\beta^5}}{{5!}} - \frac{{\beta^7}}{{7!}} + \ldots
\]

Шаг 2: Рассмотрим разложение для суммы синусов:

\[
\sin(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta) - \frac{{(\alpha + \beta)^3}}{{3!}} + \frac{{(\alpha + \beta)^5}}{{5!}} - \frac{{(\alpha + \beta)^7}}{{7!}} + \ldots
\]

Шаг 3: Произведем сложение выражений для синусов второго шага. После некоторых преобразований получаем:

\[
\sin(\alpha) + \sin(\beta) = (\alpha + \beta) - \frac{{(\alpha^3 + \beta^3)}}{{3!}} + \frac{{(\alpha^5 + \beta^5)}}{{5!}} - \frac{{(\alpha^7 + \beta^7)}}{{7!}} + \ldots
\]

Шаг 4: Обратим внимание на разность \( (\alpha^3 + \beta^3) \) в числителе последнего слагаемого в предыдущем выражении. Воспользуемся свойствами суммы и разности кубов для преобразования данной разности:

\[
(\alpha^3 + \beta^3) = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)
\]

Шаг 5: Подставим это преобразование в выражение из шага 4 и получим:

\[
\sin(\alpha) + \sin(\beta) = (\alpha + \beta) - \frac{{(\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)}}{{3!}} + \frac{{(\alpha^5 + \beta^5)}}{{5!}} - \frac{{(\alpha^7 + \beta^7)}}{{7!}} + \ldots
\]

Шаг 6: Упростим это выражение, вынесем общий множитель \( (\alpha + \beta) \):

\[
\sin(\alpha) + \sin(\beta) = (\alpha + \beta) \left(1 - \frac{{(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)}}{{3!}} + \frac{{(\alpha^4 + \alpha^2\beta^2 + \beta^4)}}{{5!}} - \frac{{(\alpha^6 + \alpha^4\beta^2 + \alpha^2\beta^4 + \beta^6)}}{{7!}} + \ldots \right)
\]

Заметим, что выражение в скобках является суммой бесконечного ряда, который содержит только положительные слагаемые. Таким образом, это выражение всегда будет больше либо равно 1, поскольку каждое последующее слагаемое будет меньше предыдущего.

В результате получаем:

\[
\sin(\alpha) + \sin(\beta) \geq (\alpha + \beta)
\]

Из этого следует, что сумма синусов двух углов всегда больше или равна сумме самих углов.

Таким образом, мы подтвердили, что сумма синусов меньше или равна единице.