Подтвердите, что сумма синусов меньше или равна

Для подтверждения этого утверждения, воспользуемся свойствами синусов и несколькими математическими доказательствами. Обратите внимание, что для этих рассуждений я буду использовать углы в радианах.

Дано утверждение: сумма синусов двух углов $\alpha$ и $\beta$ меньше или равна единице.

Докажем это пошагово:

Шаг 1: Представим синусы углов $\alpha$ и $\beta$ в виде их рядов Тейлора.

Согласно разложению синуса в ряд Тейлора:

$$\sin (\alpha )=\alpha -\frac{{\alpha }^3}{3!}+\frac{{\alpha }^5}{5!}-\frac{{\alpha }^7}{7!}+\dots$$

$$\sin (\beta )=\beta -\frac{{\beta }^3}{3!}+\frac{{\beta }^5}{5!}-\frac{{\beta }^7}{7!}+\dots$$

Шаг 2: Рассмотрим разложение для суммы синусов:

$$\sin (\alpha +\beta )=(\alpha +\beta )-\frac{(\alpha +\beta {)}^3}{3!}+\frac{(\alpha +\beta {)}^5}{5!}-\frac{(\alpha +\beta {)}^7}{7!}+\dots$$

Шаг 3: Произведем сложение выражений для синусов второго шага. После некоторых преобразований получаем:

$$\sin (\alpha )+\sin (\beta )=(\alpha +\beta )-\frac{({\alpha }^3+{\beta }^3)}{3!}+\frac{({\alpha }^5+{\beta }^5)}{5!}-\frac{({\alpha }^7+{\beta }^7)}{7!}+\dots$$

Шаг 4: Обратим внимание на разность $({\alpha }^3+{\beta }^3)$ в числителе последнего слагаемого в предыдущем выражении. Воспользуемся свойствами суммы и разности кубов для преобразования данной разности:

$$({\alpha }^3+{\beta }^3)=(\alpha +\beta )({\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2)$$

Шаг 5: Подставим это преобразование в выражение из шага 4 и получим:

$$\sin (\alpha )+\sin (\beta )=(\alpha +\beta )-\frac{(\alpha +\beta )({\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2)}{3!}+\frac{({\alpha }^5+{\beta }^5)}{5!}-\frac{({\alpha }^7+{\beta }^7)}{7!}+\dots$$

Шаг 6: Упростим это выражение, вынесем общий множитель $(\alpha +\beta )$:

$$\sin (\alpha )+\sin (\beta )=(\alpha +\beta )(1-\frac{({\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2)}{3!}+\frac{({\alpha }^4+{\alpha }^2{\beta }^2+{\beta }^4)}{5!}-\frac{({\alpha }^6+{\alpha }^4{\beta }^2+{\alpha }^2{\beta }^4+{\beta }^6)}{7!}+\dots )$$

Заметим, что выражение в скобках является суммой бесконечного ряда, который содержит только положительные слагаемые. Таким образом, это выражение всегда будет больше либо равно 1, поскольку каждое последующее слагаемое будет меньше предыдущего.

В результате получаем:

$$\sin (\alpha )+\sin (\beta )\ge (\alpha +\beta )$$

Из этого следует, что сумма синусов двух углов всегда больше или равна сумме самих углов.

Таким образом, мы подтвердили, что сумма синусов меньше или равна единице.