Какое подтверждение можно предоставить, что четырехугольник ABCD представляет собой прямоугольник? Как вычислить

Чтобы подтвердить, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы можем использовать несколько подходов.

Первый подход - проверка свойств прямоугольника. Чтобы четырехугольник был прямоугольником, все его углы должны быть прямыми. Мы можем использовать формулу расчета угла между двумя векторами, чтобы проверить, равны ли углы ACB и BCD прямым углам.

Вектор AB можно найти, вычитая координаты вершины B из координат вершины A:

\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (17-14, 8-2) = (3, 6)
\]

Вектор BC:

\[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (11-17, 11-8) = (-6, 3)
\]

Вектор CD:

\[
\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (8-11, 5-11) = (-3, -6)
\]

Вектор DA:

\[
\vec{DA} = \vec{A} - \vec{D} = (14-8, 2-5) = (6, -3)
\]

Теперь мы можем вычислить скалярные произведения этих векторов:

\[
\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (3, 6) \cdot (-6, 3) = 3 \cdot (-6) + 6 \cdot 3 = 0
\]

\[
\vec{BC} \cdot \vec{CD} = (-6, 3) \cdot (-3, -6) = -6 \cdot (-3) + 3 \cdot (-6) = 0
\]

\[
\vec{CD} \cdot \vec{DA} = (-3, -6) \cdot (6, -3) = -3 \cdot 6 + (-6) \cdot (-3) = 0
\]

Таким образом, скалярные произведения векторов AB и BC, BC и CD, CD и DA равны нулю. Это означает, что углы ACB и BCD являются прямыми углами и четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Второй подход - проверка равенства диагоналей. В прямоугольнике диагонали равны. Мы можем вычислить длины диагоналей AC и BD, используя формулу вычисления расстояния между двумя точками.

Длина диагонали AC:

\[
AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(11-14)^2 + (11-2)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} \approx 9.49
\]

Длина диагонали BD:

\[
BD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(17-8)^2 + (8-5)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} \approx 9.49
\]

Длины диагоналей AC и BD приблизительно равны, что подтверждает, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Теперь, чтобы вычислить площадь прямоугольника ABCD, мы можем использовать формулу площади для прямоугольника: площадь = длина * ширина. В данном случае, диагонали AC и BD являются длиной и шириной прямоугольника соответственно.

Площадь прямоугольника ABCD:

\[
S = AC \cdot BD = \sqrt{90} \cdot \sqrt{90} = 90
\]

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 90.