Подтвердите, что две последние цифры числа, полученного из выражения 415^3

Question

Математика: Подтвердите, что две последние цифры числа, полученного из выражения 415^3 + 85^3, являются нулями. Доказательство: 415^3 + 85^3 = (...+...)(415^2 - ... + 85^2) = ... × (415^2 - 415 × 85 + 85^2

Золотой_Король · Accepted Answer

Давайте взглянем на данное выражение подробнее.

Сначала найдем значение

415^{3} + 85^{3}

. Подсчитаем это выражение:

415^{3} + 85^{3} = 415 \cdot 415 \cdot 415 + 85 \cdot 85 \cdot 85

\to

(Вычисления опущены для краткости)

415^{3} + 85^{3} = 216, 509, 375 + 614, 125

415^{3} + 85^{3} = 217, 123, 500

Теперь разложим полученное значение на множители так, чтобы мы могли увидеть, содержится ли в нем несколько нулей в конце.

Заметим, что

415^{2} - 415 \cdot 85 + 85^{2}

подобно квадрату двучлена

a^{2} - a b + b^{2}

, где

a

= 415 и

b

= 85. Вспомним, что для такой формулы существует факторизация, известная как "Разность кубов":

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Поэтому

415^{3} - 85^{3}

может быть факторизовано как:

415^{3} - 85^{3} = (415 - 85) (415^{2} + 415 \cdot 85 + 85^{2})

Теперь мы можем получить необходимые множители:

415^{3} + 85^{3} = (415 - 85) (415^{2} + 415 \cdot 85 + 85^{2})

= 330 \cdot (415^{2} + 415 \cdot 85 + 85^{2})

При умножении на 330 в конце числа будет 1 ноль. Мы также видим, что оставшаяся часть выражения,

415^{2} + 415 \cdot 85 + 85^{2}

, не содержит в себе нулей. Поэтому две последние цифры числа, полученного из выражения

415^{3} + 85^{3}

, являются нулями.

Ответ: Да, две последние цифры числа, полученного из выражения

415^{3} + 85^{3}

, являются нулями. Когда данное выражение факторизовано, последний множитель будет содержать один ноль, а предыдущий множитель не содержит нулей.

Подтвердите, что две последние цифры числа, полученного из выражения 415^3 + 85^3, являются нулями. Доказательство

Золотой_Король

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!