Подтвердите, что две последние цифры числа, полученного из выражения 415^3 + 85^3, являются нулями. Доказательство

Давайте взглянем на данное выражение подробнее.

Сначала найдем значение \(415^3 + 85^3\). Подсчитаем это выражение:

\[415^3 + 85^3 = 415 \cdot 415 \cdot 415 + 85 \cdot 85 \cdot 85\]

\(\rightarrow\) (Вычисления опущены для краткости)

\(415^3 + 85^3 = 216,509,375 + 614,125\)

\(415^3 + 85^3 = 217,123,500\)

Теперь разложим полученное значение на множители так, чтобы мы могли увидеть, содержится ли в нем несколько нулей в конце.

Заметим, что \[415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2\] подобно квадрату двучлена \(a^2 - ab + b^2\), где \(a\) = 415 и \(b\) = 85. Вспомним, что для такой формулы существует факторизация, известная как "Разность кубов":

\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\]

Поэтому \(415^3 - 85^3\) может быть факторизовано как:

\[415^3 - 85^3 = (415 - 85)(415^2 + 415 \cdot 85 + 85^2)\]

Теперь мы можем получить необходимые множители:

\[415^3 + 85^3 = (415 - 85)(415^2 + 415 \cdot 85 + 85^2)\]

\[= 330 \cdot (415^2 + 415 \cdot 85 + 85^2)\]

При умножении на 330 в конце числа будет 1 ноль. Мы также видим, что оставшаяся часть выражения, \(415^2 + 415 \cdot 85 + 85^2\), не содержит в себе нулей. Поэтому две последние цифры числа, полученного из выражения \(415^3 + 85^3\), являются нулями.

Ответ: Да, две последние цифры числа, полученного из выражения \(415^3 + 85^3\), являются нулями. Когда данное выражение факторизовано, последний множитель будет содержать один ноль, а предыдущий множитель не содержит нулей.