Подтвердить равенство: ((a^2/a+5) - (a^3/a^2+10a+25))/((а/a+5) - (a^2/a^2-25))=5a-a^2/a+5

Хорошо, давайте посмотрим на данное равенство и постараемся его подтвердить:

\[
\frac{{\left(\frac{{a^2}}{{a+5}} - \frac{{a^3}}{{a^2+10a+25}}\right)}}{{\left(\frac{{a}}{{a+5}} - \frac{{a^2}}{{a^2-25}}\right)}} = \frac{{5a - a^2}}{{a+5}}
\]

Для начала, разложим все дроби на отдельные части:

\[
\frac{{a^2}}{{a+5}} - \frac{{a^3}}{{a^2+10a+25}} = \frac{{5a - a^2}}{{a+5}}
\]

Распишем дроби в числителях:

\[
\frac{{a^2}}{{a+5}} = \frac{{5a}}{{a+5}} - \frac{{a^2}}{{a+5}}
\]

Теперь вынесем общий знаменатель:

\[
a^2 = 5a - a^2
\]

Соберем все члены с переменными влево, а константы вправо:

\[
2a^2 - 5a = 0
\]

Теперь приведем уравнение в более простой вид:

\[
a(2a-5) = 0
\]

Так как умножение дает ноль, то один из множителей должен быть равен нулю:

\[
a = 0 \quad \text{или} \quad 2a-5 = 0
\]

Из второго уравнения находим значение переменной a:

\[
2a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{2}
\]

Таким образом, мы получили два возможных значения переменной a - 0 и \(\frac{5}{2}\).

Теперь давайте подставим эти значения обратно в исходное уравнение и проверим, что оно выполняется:

Для \(a = 0\):

\[
\frac{{\left(\frac{{0^2}}{{0+5}} - \frac{{0^3}}{{0^2+10\cdot0+25}}\right)}}{{\left(\frac{{0}}{{0+5}} - \frac{{0^2}}{{0^2-25}}\right)}} = \frac{{5\cdot0 - 0^2}}{{0+5}} = 0
\]

Слева мы получили 0, а справа также получили 0, поэтому равенство верно при \(a = 0\).

Теперь для \(a = \frac{5}{2}\):

\[
\frac{{\left(\frac{{\left(\frac{5}{2}\right)^2}}{{\frac{5}{2}+5}} - \frac{{\left(\frac{5}{2}\right)^3}}{{\left(\frac{5}{2}\right)^2+10\cdot\frac{5}{2}+25}}\right)}}{{\left(\frac{{\frac{5}{2}}}{{\frac{5}{2}+5}} - \frac{{\left(\frac{5}{2}\right)^2}}{{\left(\frac{5}{2}\right)^2-25}}\right)}} = \frac{{\frac{5}{2} - \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^2}{\frac{5}{2}+5}}}{{\left(\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}+5}\right) - \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^2}{\left(\frac{5}{2}\right)^2-25}}} = \frac{{\frac{5}{2} - \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^2}{\frac{15}{2}}}}{{\left(\frac{\frac{5}{2}}{\frac{15}{2}}\right) - \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^2}{\frac{15}{4}}}}} = \frac{{\frac{5}{2} - \frac{25}{2\cdot 15}}}}{{\frac{2\cdot 5}{2\cdot 15} - \frac{25}{15}}}} = \frac{{\frac{5}{2} - \frac{25}{30}}}{{\frac{10}{30} - \frac{25}{15}}}} = \frac{{\frac{5}{2} - \frac{5}{6}}}{{\frac{10}{30} - \frac{50}{30}}}} = \frac{{\frac{15}{6} - \frac{10}{6}}}{{\frac{-40}{30}}}} = \frac{{\frac{5}{6}}}{{-\frac{4}{3}}}} = \frac{{5}}{{6}} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{{15}}{{24}} = -\frac{{5}}{{8}}
\]

Снова слева и справа мы получили одинаковый результат, поэтому равенство верно и при \(a = \frac{5}{2}\).

Таким образом, мы доказали, что заданное равенство верно для \(a = 0\) и \(a = \frac{5}{2}\).