Подробно разбирать решения задач по геометрии для 8 класса

Конечно! Я помогу вам подробно разобрать решение задачи по геометрии для 8 класса.

Давайте рассмотрим следующую задачу: "В треугольнике ABC, у которого стороны AB и AC равны 6 см и 8 см соответственно, а угол BAC равен 60 градусов, найдите длину стороны BC, а также площадь треугольника ABC".

Для начала, мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину стороны BC. Теорема косинусов утверждает, что квадрат длины одной из сторон треугольника равен сумме квадратов длин оставшихся двух сторон, умноженной на разность косинусов углов между этой стороной и оставшимися сторонами.

В данном случае, мы знаем длины сторон AB и AC, а также угол BAC. Поэтому мы можем записать следующее:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(BAC)\]

Подставляя известные значения, получим:

\[BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)\]

Теперь, нам нужно найти значение \(\cos(60^\circ)\). Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), так как в треугольнике равносторонний треугольник со стороной 1, косинус угла 60 градусов равен \(\frac{1}{2}\). Подставляем это значение:

\[BC^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}\]

\[BC^2 = 100 - 48\]

\[BC^2 = 52\]

Теперь мы можем найти длину стороны BC, извлекая квадратный корень:

\[BC = \sqrt{52}\]

\[BC \approx 7.21 \: \text{см}\]

Таким образом, длина стороны BC составляет примерно 7.21 см.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать формулу для площади треугольника, основанную на половине произведения двух сторон треугольника и синуса угла между ними:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(BAC)\]

Подставляем известные значения:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ)\]

Мы знаем, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), так как в равностороннем треугольнике соседняя сторона к углу 60 градусов равна \(\sqrt{3}\), а гипотенуза равна 2. Подставляем это значение:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[S = 12 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[S = 24 \cdot \sqrt{3}\]

\[S \approx 41.57 \: \text{см}^2\]

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет примерно 41.57 см².

Надеюсь, этот подробный разбор решения задачи помог вам лучше понять геометрию! Если у вас еще остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.