Подробно опишите точку экстремума функции y=8-24x+2x^3/2

Для начала, давайте разберемся, что такое точка экстремума функции. Точка экстремума - это точка на графике функции, где функция достигает максимального или минимального значения.

У нас есть функция y = 8 - 24x + 2x^(3/2). Чтобы найти точку экстремума, мы должны найти значение x, при котором y достигает экстремального значения. Для этого мы можем применить производную функции.

Давайте найдем производную функции y = 8 - 24x + 2x^(3/2). Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 0 - 24 + \left(\frac{{3}}{{2}} \cdot 2x^{\frac{{1}}{{2}}-1}\right) \cdot 2
\]

Упростим это выражение:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -24 + 3x^{-1/2} = -24 + \frac{{3}}{{\sqrt{x}}}
\]

Теперь найдем значение x, при котором производная равна нулю:

\[
-24 + \frac{{3}}{{\sqrt{x}}} = 0
\]

Добавим 24 к обоим сторонам уравнения:

\[
\frac{{3}}{{\sqrt{x}}} = 24
\]

Затем возведем обе стороны в квадрат:

\[
\frac{{9}}{{x}} = 576
\]

Выразим x:

\[
x = \frac{{9}}{{576}} = \frac{{1}}{{64}}
\]

Теперь, когда у нас есть значение x, мы можем найти соответствующее значение y, подставив его обратно в исходную функцию:

\[
y = 8 - 24 \cdot \frac{1}{64} + 2 \cdot \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{3}{2}}
\]

Упростим это выражение:

\[
y = 8 - \frac{3}{64} + 2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{64^3}}\right)
\]

Заметим, что \(\frac{1}{\sqrt{64^3}}\) равно \(\frac{1}{64^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{2}}\cdot64^{\frac{1}{2}}}\) и \(\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}\) равно \(\frac{1}{8}\)

\[
y = 8 - \frac{3}{64} + 2 \cdot \frac{1}{8} = 8 - \frac{3}{64} + \frac{1}{4}
\]

Упростим выражение:

\[
y = \frac{512}{64} - \frac{3}{64} + \frac{16}{64} = \frac{525}{64}
\]

Таким образом, точка экстремума функции y = 8 - 24x + 2x^(3/2) имеет координаты \(\left(\frac{1}{64}, \frac{525}{64}\right)\).