Подберите девять неповторяющихся натуральных чисел, сумма обратных значений которых также равна единице

Для решения данной задачи нам необходимо подобрать 9 различных натуральных чисел, сумма обратных значений которых равна единице.

Найдем обратное значение каждого числа. Обратное значение числа \( x \) обозначается как \( \frac{1}{x} \).

Пусть наши 9 чисел обозначаются как \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9 \).

Тогда условие задачи можно записать следующим образом:

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4} + \frac{1}{x_5} + \frac{1}{x_6} + \frac{1}{x_7} + \frac{1}{x_8} + \frac{1}{x_9} = 1 \]

Пользуясь этим уравнением, мы можем решить задачу путем пошагового подбора чисел.

Давайте начнем:

1. Выберем первое число \( x_1 = 2 \), так как это наименьшее натуральное число.

Уравнение становится:

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4} + \frac{1}{x_5} + \frac{1}{x_6} + \frac{1}{x_7} + \frac{1}{x_8} + \frac{1}{x_9} = 1 \]

2. Найдем второе число \( x_2 \).

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \]

Чтобы сумма была равна 1, необходимо, чтобы оставшиеся числа в сумме давали \( 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \).

3. Выберем третье число \( x_3 \).

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{x_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{31}{42} \]

Оставшиеся числа должны давать \( 1 - \frac{31}{42} = \frac{11}{42} \).

4. Продолжим этот процесс, выбирая оставшиеся числа и обновляя сумму с учетом найденных чисел.

Последовательно получаем:

\[ x_4 = 4, x_5 = 5, x_6 = 6, x_7 = 8, x_8 = 12, x_9 = 24 \]

Проверяем итоговое уравнение:

\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = 1 \]

Таким образом, мы нашли 9 различных натуральных чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 24, сумма обратных значений которых равна 1.