Под какое значение m векторы a и b становятся 1) параллельными 2) ортогональными?

Подобные задачи, возникающие в рамках линейной алгебры и векторного анализа, требуют анализа свойств векторов и применения соответствующих математических операций. Для того чтобы определить, когда два вектора a и b являются параллельными или ортогональными, мы воспользуемся скалярным произведением векторов.

1) Начнем с определения параллельности векторов. Два вектора a и b являются параллельными, если их направления совпадают или противоположны, то есть они коллинеарны. Это означает, что для параллельных векторов выполняется условие: \(\vec{a} = k \vec{b}\), где k - некоторая константа.

Рассмотрим скалярное произведение векторов a и b: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\theta}\), где |\vec{a}| и |\vec{b}| - длины векторов a и b соответственно, а \theta - угол между ними.

Если a и b параллельны, то значит угол между ними равен 0 или 180 градусов, и \(\cos{0} = 1\) и \(\cos{180} = -1\). Подставим значения в уравнение скалярного произведения:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{0} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\)

То есть, если скалярное произведение векторов a и b равно произведению их длин, то они параллельны. Используя это условие, мы можем написать уравнение:

\(a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\),

где \(a_x, a_y, a_z\) и \(b_x, b_y, b_z\) - компоненты векторов a и b.

2) Теперь рассмотрим ортогональные векторы. Два вектора a и b являются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).

Используя уравнение скалярного произведения, мы можем записать:

\(a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z = 0\).

То есть, если сумма произведений соответствующих компонент векторов a и b равна нулю, то они ортогональны.

Теперь, зная условия для параллельности и ортогональности, давайте рассмотрим конкретные примеры подстановки значений m:

1) Параллельность векторов a и b:
Если a и b параллельны, то выполняется уравнение:

\(a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\)

Это уравнение может иметь больше одного решения в зависимости от значений компонент векторов a и b. Для примера, рассмотрим случай, когда a = (1, 2, 3) и b = (2, 4, 6). Подставим значения в уравнение:

\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 2 \cdot \sqrt{14}\),

\(2 + 8 + 18 = 2 \cdot \sqrt{14}\),

\(28 = 2 \cdot \sqrt{14}\).

Исходя из данного уравнения, нет конкретного значения m, при котором векторы a и b становятся параллельными. Они уже параллельны, так как их направления совпадают.

2) Ортогональность векторов a и b:
Если a и b ортогональны, то выполняется уравнение:

\(a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z = 0\)

Аналогично предыдущему случаю, это уравнение может иметь несколько решений в зависимости от значений компонент векторов a и b. Рассмотрим случай, когда a = (m, 2, -1) и b = (-1, 1, 2). Подставим значения в уравнение:

\(m \cdot -1 + 2 \cdot 1 + -1 \cdot 2 = 0\),

\(-m + 2 - 2 = 0\),

\(-m = 0\),

\(m = 0\).

Таким образом, для данного примера, при m = 0 векторы a и b становятся ортогональными, то есть перпендикулярными.

В заключение, параллельность и ортогональность векторов a и b определяются по соответствующим уравнениям, использующим скалярное произведение векторов. Подстановка конкретных значений позволит определить, при каких значениях m векторы становятся параллельными или ортогональными.