Под какими значениями параметра p корни уравнения x^2 + 2(p-1) + p(p-3) будут иметь различные знаки?

Чтобы определить, при каких значениях параметра \(p\) корни уравнения \(x^2 + 2(p-1)x + p(p-3)\) будут иметь различные знаки, мы можем воспользоваться свойствами квадратных уравнений.

Первым шагом давайте проанализируем дискриминант квадратного уравнения. Дискриминант определяется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).
В нашем случае коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = 2(p-1)\) и \(c = p(p-3)\).

Теперь подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта для нашего уравнения:
\[D = (2(p-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot p(p-3)\]
\[D = 4(p-1)^{2} - 4p(p-3)\]
\[D = 4(p^2 - 2p + 1) - 4p^2 + 12p\]
\[D = 4p^2 - 8p + 4 - 4p^2 + 12p\]
\[D = -4p^2 + 4p + 4\]

Теперь нам нужно рассмотреть три возможных случая:

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня. Это значит, что корни будут иметь различные знаки. Решим неравенство \(D > 0\):
\[-4p^2 + 4p + 4 > 0\]
\[-p^2 + p + 1 > 0\]

Мы можем решить это неравенство графически или используя методы анализа функций. Прежде всего, найдем корни квадратного уравнения:
\[-p^2 + p + 1 = 0\]
\[p = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 1}}{2 \cdot (-1)}\]
\[p = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{-2}\]
\[p = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{-2}\]

Таким образом, у нас есть два корня \(p_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{-2}\) и \(p_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{-2}\).
Теперь проверим, в каких интервалах дискриминант положителен:

a) Если \(p < \frac{-1 - \sqrt{5}}{-2}\), то \(-4p^2 + 4p + 4 > 0\).
b) Если \(p > \frac{-1 + \sqrt{5}}{-2}\), то также \(-4p^2 + 4p + 4 > 0\).

То есть, корни уравнения \(x^2 + 2(p-1)x + p(p-3)\) будут иметь различные знаки, когда \(p\) находится в интервале \(p < \frac{-1 - \sqrt{5}}{-2}\) или \(p > \frac{-1 + \sqrt{5}}{-2}\).

2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет два одинаковых корня. В этом случае корни не будут иметь различных знаков. Сравним \(D\) с нулем:
\[-4p^2 + 4p + 4 = 0\]

Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации:
\[-4p^2 + 4p + 4 = 0\]
\[-4(p^2 - p - 1) = 0\]

Чтобы решить это уравнение, мы должны приравнять каждый множитель к нулю:
\(p^2 - p - 1 = 0\)

Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение или другие методы, например, метод дополнения квадрата. Однако, в данном случае мы будем просто допустим, что \(p\) не равно значению, при котором дискриминант равен нулю. То есть, корни уравнения \(x^2 + 2(p-1)x + p(p-3)\) не будут иметь различных знаков в случае, \(p\) равного значению, при котором \(D\) равно нулю.

3. Если \(D < 0\), то уравнение имеет два комплексных корня. А комплексные корни не могут иметь различных знаков. Таким образом, при \(D < 0\) корни уравнения \(x^2 + 2(p-1)x + p(p-3)\) не будут иметь различных знаков.

В итоге, мы получаем, что корни уравнения \(x^2 + 2(p-1)x + p(p-3)\) будут иметь различные знаки, когда \(p\) находится в интервале \(p < \frac{-1 - \sqrt{5}}{-2}\) или \(p > \frac{-1 + \sqrt{5}}{-2}\).