по геометрии: 1) Определить длину среднего пропорционального отрезка МН и КР, если МН равно 9 см, а КР равно 16

Мы говорим о среднем пропорциональном отрезке, когда имеется два отрезка, и их пропорции совпадают. Предположим, что МН и КР являются средними пропорциональными отрезками.

1) Для определения длины среднего пропорционального отрезка МН, мы можем использовать формулу пропорции \(\frac{МН}{КР} = \frac{КР}{МН} = \frac{9}{МН}\) (по свойству среднего пропорционального отрезка).

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать свойство равенства дробей, где произведение числителей равно произведению знаменателей. В нашем случае, произведение числителей будет \(9 \cdot МН\), а произведение знаменателей будет \(КР\).

Получаем уравнение: \(9 \cdot МН = 16\).

Для определения значения МН, мы можем разделить обе стороны уравнения на 9: \(\frac{9 \cdot МН}{9} = \frac{16}{9}\).

Выполняя вычисления, получаем: \(МН = \frac{16}{9}\) см.

Теперь, чтобы определить длину среднего пропорционального отрезка КР, мы можем использовать значение МН и уравнение: \(\frac{МН}{КР} = \frac{КР}{МН}\).

Подставляя значение МН, получаем: \(\frac{\frac{16}{9}}{КР} = \frac{КР}{\frac{16}{9}}\).

Для решения этого уравнения, мы можем умножить обе стороны на \(КР \cdot \frac{16}{9}\), чтобы избавиться от дробей: \(\frac{16}{9} = КР^2\).

Для избавления от знаменателя дроби, мы можем умножить обе стороны уравнения на 9: \(16 = 9 \cdot КР^2\).

Чтобы определить значение КР, необходимо извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения: \(\sqrt{16} = \sqrt{9 \cdot КР^2}\).

Выполняя вычисления, получаем: \(4 = 3 \cdot КР\).

И, наконец, чтобы определить значение КР, мы можем разделить обе стороны уравнения на 3: \(\frac{4}{3} = КР\).

Таким образом, длина среднего пропорционального отрезка МН равна \(\frac{16}{9}\) см, а длина среднего пропорционального отрезка КР равна \(\frac{4}{3}\) см.

2) Для определения разницы в длине отрезков АВ и СД, мы можем использовать ту же идею с пропорциями.

Предположим, что АВ и СД являются средними пропорциональными отрезками.

Мы знаем, что их разница в длине составляет 21: АВ - СД = 21.

Также мы знаем, что их длина среднего пропорционального отрезка составляет 10: \(\frac{АВ}{СД} = \frac{СД}{АВ} = \frac{10}{АВ}\).

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать свойство равенства дробей.

Получаем уравнение: \(\frac{АВ}{СД} = \frac{СД}{АВ} = \frac{10}{АВ}\).

Для определения значения АВ, мы можем использовать свойство равенства дробей и умножить обе стороны уравнения на АВ: \(АВ^2 = СД \cdot 10\).

Теперь мы знаем, что АВ - СД = 21, поэтому можем подставить это значение в уравнение: \(АВ^2 = (АВ + 21) \cdot 10\).

Раскрываем скобки: \(АВ^2 = 10АВ + 210\).

Переносим все в левую часть уравнения: \(АВ^2 - 10АВ - 210 = 0\).

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или метода квадратного корня.

Решив его, получаем два значения AВ: \(АВ_1 = -14\) и \(АВ_2 = 24\).

Заметим, что длина отрезка должна быть положительной, поэтому отбрасываем отрицательное значение.

Таким образом, длина среднего пропорционального отрезка АВ составляет 24 единицы длины.