Площадь боковой поверхности призмы, основанием которой является ромб с острым углом 60° и высотой 23 см, равна 138π

Для решения этой задачи, нужно разделить решение на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем площадь ромба. У ромба все стороны равны между собой, поэтому для нахождения площади достаточно найти площадь одного из треугольников. Чтобы найти площадь треугольника, нам понадобится использовать формулу:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times a \times h\]

где \(a\) - длина основания треугольника (сторона ромба), а \(h\) - высота треугольника.

В этой задаче у нас есть высота ромба, равная 23 см. Чтобы найти длину основания, воспользуемся свойством ромба, согласно которому диагонали ромба делят его углы пополам. Так как у нас есть острый угол ромба, равный 60°, то мы можем найти величину двух других углов ромба, разделив 60° на 2. Поскольку стороны ромба равны, мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины основания.

Шаг 2: Найдем длину основания ромба. Обозначим сторону ромба как \(a\). Так как у нас есть острый угол ромба, равный 60°, то два других угла ромба будут равны 60° каждый. Возьмем половину одного из этих углов, чтобы получить 30°. Затем применим теорему косинусов:

\[\cos(30^\circ) = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\]

Решим это уравнение относительно \(a\):

\[\frac{1}{2} = \frac{1}{2a} \Rightarrow 1 = a\]

Таким образом, длина основания ромба равна 1.

Шаг 3: Теперь, когда у нас есть длина основания ромба и высота ромба, мы можем найти площадь треугольника, который составляет боковую поверхность призмы. Подставляем известные значения в формулу:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times 1 \times 23 = 11.5\]

Шаг 4: Поскольку боковая поверхность призмы состоит из двух таких треугольников, мы должны умножить площадь одного треугольника на 2, чтобы найти площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{\text{поверхности призмы}} = 2 \times S_{\text{треугольника}} = 2 \times 11.5 = 23\]

Таким образом, площадь боковой поверхности этой призмы равна 23 см².