Перепишите следующие вопросы: 1) Как вычислить sin 150°? 2) Как вычислить cos 390°? 3) Как вычислить tg 765°?

1) Чтобы вычислить sin 150°, мы сначала должны знать, как связаны углы 150° и основные углы в треугольнике. Угол 150° находится в третьем квадранте, и мы знаем, что sin угла в третьем квадранте отрицательный. Также мы можем заметить, что угол 150° равен сумме основного угла 90° и угла 60°.

Используя тригонометрическую формулу sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β, мы можем записать sin 150° как sin (90° + 60°). Теперь нам нужно знать sin 90° и sin 60°.

sin 90° = 1 (высота прямоугольного треугольника острого угла)
sin 60° = √3/2 (так как в равностороннем треугольнике все стороны равны)

Теперь можем заменить значения и вычислить:

sin 150° = sin (90° + 60°)
= sin 90° cos 60° + cos 90° sin 60°
= 1 * √3/2 + 0 * 1
= √3/2

Таким образом, sin 150° равно √3/2.

2) Для вычисления cos 390° мы должны знать, как связаны значение функции косинус с основными углами в окружности. Угол 390° может быть представлен как 360° + 30°.

Используя свойства периодичности косинуса, мы знаем, что cos (θ + 360°) = cos θ. Таким образом, мы можем записать cos 390° как cos (360° + 30°), что равно cos 30°.

cos 30° = √3/2 (значение функции косинус при 30°)

Таким образом, cos 390° равно √3/2.

3) Для вычисления tg 765° мы можем использовать свойства периодичности тангенса. Угол 765° можно представить как 720° + 45°.

tg 45° = 1 (значение функции тангенс при 45°)

tg 720° = tg (720° + 0°) = tg 0° = 0 (свойство периодичности тангенса)

Теперь мы можем вычислить tg 765°:

tg 765° = tg (720° + 45°) = tg 45° = 1

Таким образом, tg 765° равно 1.

4) Чтобы вычислить ctg 690°, мы можем использовать определение ctg как обратную функцию к тангенсу.

Так как ctg α = 1/tg α, мы можем найти ctg 690°, используя тот же угол 690°, для которого мы уже вычислили tg.

tg 690° = tg (360° + 330°) = tg 330° = √3

Теперь мы можем найти ctg 690°:

ctg 690° = 1/tg 690° = 1/√3

Таким образом, ctg 690° равно 1/√3.

5) Для вычисления cos (π – α), мы можем использовать различные свойства функции косинуса. Одно из таких свойств - cos (π - α) = - cos α.

Таким образом, cos (π – α) равно - cos α.

6) Чтобы вычислить tg (π/2 + α), мы можем использовать свойства функции тангенса. Одно из таких свойств - tg (π/2 + α) = - ctg α.

Таким образом, tg (π/2 + α) равно - ctg α.

7) Чтобы вычислить tg (-7π/4), мы можем использовать углы, соответствующие этим значениям. Мы знаем, что π равно 180°, поэтому -7π/4 можно переписать как -7 * 180°/4.

Так как tg (-α) = -tg α, мы можем записать tg (-7π/4) как -tg (7π/4).

Угол 7π/4 можно представить как 45° + π, и мы знаем, что tg (45° + π) = -1 (потому что tg π = 0, а tg 45° = 1).

Таким образом, tg (-7π/4) равно -1.

8) Чтобы вычислить ctg (8π/3), мы можем использовать свойства функции ctg. Одно из таких свойств - ctg α = 1/tg α.

Таким образом, ctg (8π/3) равно 1/tg (8π/3).

9) Для вычисления данного выражения, нам нужно использовать знание тригонометрических тождеств и свойств функции синуса и косинуса.

Первое, что мы можем заметить, это схожесть функции ctg α и функции tg α, так как ctg α = 1/tg α. Поэтому выражение можно переписать следующим образом:

2 sin (π – α) cos (π/2 - α) + 3 sin 2(π/2 - α)

Затем, используя формулу синуса разности, мы можем переписать sin (π - α) и cos (π/2 - α):

2 (sin π cos α - cos π sin α) (cos π/2 cos α + sin π/2 sin α) + 3 sin (π - 2α)

Учитывая, что sin π = 0, cos π = -1, сos π/2 = 0 и sin π/2 = 1, мы можем упростить выражение:

2 (-sin α) (0 cos α + 1 sin α) + 3 sin (π - 2α)

-2sin αsin α + 3sin (π - 2α)

Теперь мы можем рассмотреть последнее слагаемое и использовать формулу синуса разности:

-2sin αsin α + 3 (sin π cos (2α) - cos π sin (2α))

-2sin αsin α + 3 (0 - cos (2α))

-2sin αsin α - 3 cos (2α)

Таким образом, выражение 2 sin (π – α) cos (π/2 - α) + 3 sin 2(π/2 - α) равно -2sin αsin α - 3 cos (2α).